Ryan's blog

就这样,该走了,学习时间到

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  • ,
    • 例如 , 取, 对于, 表示旋转 ;
  • , 它跟表示的关系是, 是的微分 (视也是一个李群, 那么就是李群间的同态映射, 当然可以取微分).
    • 它的几何意义是, 李群在单位元处的切空间近似.
    • 也就是, 李代数中的元素, 对应到上的action, 正是李群中元素对应上action之间的微小变化.
    • 在例子中, , 即圆环在处切空间.
    • 于是, 对于, 有.
    • 自然语言描述便是, 对于距离单位元不远的李群元素, 它对应于表示空间的作用, 看起来就是李代数元素对应于表示空间的作用.
表示空间 切向量表示族(李代数表示族) 例子 的表示 群元素表示
,, (当然还可以取其他复数对), 作用到上: 旋转, 作用到旋转, 并拉伸2倍. , 在我们的例子中, 就是将拉伸倍. 对于, 那么对于, 它的表示为
Bargman-Fock空间, , 即全纯函数空间的完备. 取2(当然还可以取其他非零实数), 作用到某个基函数上, 就是 作用到基函数上, 就是, 可见基函数正是变换的eigenvector. 过于复杂, 不便展示
  • 可见, 第一族表示, 直接把给无视掉了. 前景堪忧.
  • 对于第二族表示, 实际上当不是奇数时, 这一表示就是可逆的.
    • 其中最关键的一步是处理时,
    • ;

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问题:

吗?

解答:




应修正为:
🍸

错误原因:
:


①这一步,使用了
验证:令


成立。

🍸式可以看出, Lie代数表示的共轭表示(通过定义), 面对Lie代数括号运算时, 也是反序的, 正如反自同构所表现的一样.

实际上, 这是自然的, 因为共轭表示的运算中, 就包含了一次反自同构, 也即包含了一次反序, 因此它呈现出反序的表现就对了!

为何共轭表示要与反自同构绑定在一起?

baby case:

李代数 生成元(基) 交换性 表示空间 表示 表示与李括号的复合
Heisenberg代数
旋转代数
同上
Heisenberg代数 同第一行 同第一行 Bargman-Fock空间, , 即全纯函数空间的完备. 线
同第一行, 即
李代数 共轭表示 共轭表示与原表示的关系 由前一列推出, 共轭表示的显式形式 共轭表示中, 对Lie代数元素所作的操作, 与李括号的复合 共轭表示与交换性
Heisenberg代数 (证明见上文)
旋转代数 同上 同上 同上
Heisenberg代数 线
第一种方案: 同第一行 同第一行
第二种方案: ,其中 , , .吗 同第一行 同第一行

为什么在定义共轭表示的时候, 天然与反自同构绑定


另一方面,
所以, , 这显然违背了 "表示保持群结构(李代数结构)" 的定义要求, 因此需要先改变原来的群结构(李代数结构), 变成一个新群(新李代数), 使得新的表示保持这个新群(新李代数)的结构.

显然, 这个新群的获得, 应该通过对老群(进而老李代数, 下面我们只关注新老李代数, 李群我们不关注)施加反自同构: , 使得新群(新李代数)上结构变为 .

如此一来, 在这个新群(新李代数)上, 我们的新表示便又可以保持结构, 做一个真正的表示了. , 这正是新群(新李代数)结构.

例子: 显然对于以矩阵为李代数元素的情况, 矩阵的转置即为一种反自同构, 这是通用情况. 例子: 对于Heisenberg代数, 由于其上的李代数结构颇为简单, 要实现反自同构, 仅需让即可. (当然了, 取矩阵的转置也可, 只要能实现李代数的反自同构, 都可.)

在李群表示论中, 为什么李代数元素表示可以是不可逆的, 但李群元素表示全都是可逆的? 难道不是李代数确定了李群吗?

先用符号写下来:

  • : 李群
  • : 表示空间
  • : 上的可逆线性算子群 (即自同构群);

  • : 李代数
  • 上的全体线性算子空间(自同态)

Lie-Palais定理:在单连通行李群上,李代数同态唯一提升为群表示,满足:

例子:

  • , 这显然不是可逆的.
  • 为表示空间;
  • 确定的李群元素族;

可见:

  • 首先, 李代数元素作用到表示空间任意向量 上, 得到, 因此的操作便是将所有中向量向轴投影, 这显然不是可逆的, 是丢失坐标信息的.
  • 李群元素表示作用到表示空间任意向量上, , 是将所有中向量横向(轴方向)拉长t倍(t很小), 这当然是可逆的.
  • 可见"李代数是李群在幺元处的切空间", 或者说, "李群在幺元附近可以近似为李代数"的看法. 其实是不正确的.
  • 正确的说法应该是, 或者说对于幺元附近的点 , , 其中.
    • 另外的例子:
    • 对于,
  • 因此, 与其说"李群在幺元附近可以近似为李代数", 不如说是 "李群上, 幺元附近的元素-幺元 李代数上的某个向量"

因此, 这种"差向量"或曰"改变向量(相对幺元)", 当然可以是只与部分信息有关的, 即它的表示可以是不可逆的.
但李群元素, 在定义中就规定了, (在群表示论中)是可逆的.

"做差的双方(李群元素 )是信息俱全的, 但差(李代数元素)可以只含有部分信息", 这并无问题.

Rockland算子

定义(Rockland条件)

齐次微分算子 满足Rockland条件,若对于群 的每一个非平凡不可约酉表示 ,对应的表示算子 在光滑向量空间 上是单射(即没有非零解)。

符号展开

  • : 将微分算子 通过表示 转换为作用在 上的算子。
  • 光滑向量: 属于 的向量在群作用下无限可微。
  • 单射性: 若 ,则必有
  • 光滑向量空间 , 关系好像函数空间中的光滑函数空间, 只是为了让算子可以作用, 意义不大, 在思考时可以不做区分.

表示

群论 by ,
其中, 是李代数基元素的高阶乘积(如 )
表示论 ; 或许更准确的写法是: , 定义为
, by ,
这里 表示算子的多项式组合(如 )。
例子
这与我们的几何直觉也相符, 即圆环上幺元附近点的作用(即相乘), 相对幺元的作用(也就是恒同映射)来说, 近乎是乘上一个, 也就是旋转90°.
, 这里表示算子的多项式组合(如).

简言之, 李群算子是从李代数向量(向量场)发展来的, 因此它的表示继承了李代数表示相同的定义域和值域.

本文旨在解释"vanErp2010March"一文中, 下面这句话:

它可以自然地解释为 各点 对应的 构成的光滑族 是切纤维 上的算子。

其中, "它" 指的是 的最高阶部分, 其在点的局部化为.

算子(的最高阶)是如何被定义到切空间上上的?

首先, 在点处, 如前所引, 的最高阶可局部化为 , 其中是流形上的局部向量场.

同时, 可以将处的切空间赋以匹配的坐标.

还可以将这个切空间赋以Heisenberg群结构

然后, 在这个赋了坐标的中, 显式地写出仨向量场:

对应的左不变向量场 , , 满足对易关系:

这仨 中的向量场, 跟流形上的那仨向量场, 是一样的吗?

首先肯定不是一回事, 因为所在的空间都不同, 一个是"贴着"流形, 一个是"贴着"切空间.
那么它们完全不同吗? 也不是的, 因为点和的原点是重合的, 而坐标系是根据向量设立的, 向量场也是根据向量场点处的向量的坐标表示拓展出来的.

所以

是如何作用于上函数的?

例如, 对于函数, by . .

为什么说 上是左(平移)不变的?

什么叫"左平移不变"?

得先解释什么是向量场的"左平移", 它脱胎于空间(更一般地, 流形)的左平移: by 这个变换的雅可比矩阵显然就是 其中平移后的新坐标.(比如小明家,明明住在点处, 现在非让他们家连房子一起(哈尔的移动城堡是吧), 和所有人一样, 按照"左加"的规则搬到新地方. 按照这个规则, 小明家应搬到, )

因此对于向量场, 它们在新坐标系下的表示为: , ,
几何化解释一下: 小明家原来在, 小红家原来在,从小明家到小红家有个箭头, 就是 , 看上去就是一个水平的单位长度箭头, 现在集体搬家以后, 小明家来到, 小红家来到, 从小明家到小红家的箭头就变成了, 看上去就成了一个水平分量, 竖直方向分量的向量了. 这说明至少对小明家来说, , 当然可以验证, 对于每家每户来说都是如此.

%%上面这个的得出其实很简单, 可以通过形式地改写雅可比矩阵定义:

因此对于向量场, 它的左平移.

合并同类项后, 项抵消,最终得到:

可以看到, 对于这样的向量场, 若小黄家在一个预设的箭头, 小兰家在一个箭头尾, 那么当上面下令, 整体搬家, 遵循规则"左加", 小黄家搬到, 小兰家搬到, 则他们之间的箭头变为, 还是向量场上预设的箭头!

这便是是"左平移不变"向量场的含义. 还是应该把向量场视为流形上的箭头簇, (我知道, 紧贴流形上箭头是弯曲的, 而真正的向量是切于流形, 是直的, 但只要我们让所有箭头都缩小 , 直的弯的谁还能分辨?), 然后把每个箭头的两个端点画在流形上, 箭头的左平移, 就可以根据这些端点的左平移来确定.

这个描述更准确地版本是, 稠密的蜂蜜在流形上流淌, 每点的速度构成一个向量场, 小红看了一眼后闭上眼睛, 小明把每一滴蜂蜜都依照群加法, 左平移到新的位置, 依旧让其流淌, 同时保持任意一滴蜂蜜流向的目标邻居, 以及流至目标邻居所在位置需要的时间.
这时让小红睁开眼, 若小红看不出有什么不同, 则可以说这个蜂蜜流是"左不变的."
反例: 流形 $ , 赋普通加法群结构, 则蜂蜜流=不是左不变的. 因为一滴蜂蜜流到它的邻居所在位置用时 , 被左平移之后, 这滴蜂蜜被平移到 , 它的目标邻居被平移到, 为了保持这滴蜂蜜流至目标邻居位置时长仍是 , 它的速度需要保持 , 与 显然不同. 小红睁眼一看, 发现这个位置, 流速比闭眼前慢了许多, 因此她知道, 这个蜂蜜流并非左不变的.

为什么要引入Heisenberg群

因为我们所在的流形, 它本身的局部李群构造(切空间), 就是Heisenberg群结构的(其上李代数为). 这种流形, 确实很少见, 但也可以找到一个熟悉的例子, 那便是Heisenberg群本身.

形象化描述就是, 在一个普通的 空间中, "全体搬家, 依据左加的规则", 就是小学生都会的向量加法. 对于住在的小明家, 左加搬到. 而在Heisenberg空间, 同样的搬家令, 小明家需要搬到.

此外, 统治者还规定, 任何居民, 都只能走在"层面(distribution)"上, 他们非得说, 这层面是"水平"的, 至于层面长什么样, 见图 图1. 这只是一层的, 上下只需将其进行复制粘贴即可.

因此, 住在处的小元, 要走到处的外祖母家(也就是说, 住她头顶上方), 由于只能沿着"水平"层面(horizontal distribution)走, 因此她想走最短的路, 也是一个向上的螺旋线.

好在, Chow定理允许在这个世界里, 一个人可以从任意地方走到任意地方.

欧王与庞王, 伪球面上的变革

"联络是一种规定."

故事发生在伪球面上, 那时候, 大地还没有被规划(没有建立坐标系).

为了简化, 我们预设这个这个大地上的居民, 有天然的东西南北的感觉.

有一天, 小明在某地测量了当地的西风风速, 正好是把纸片抛起, 落在他面前一个身高的距离. 然后他往北站了站, 再次把纸片抛到同样高度, 结果这次落点远了. 于是他知道, 这个西风是越往被, 风力越大.

这时, 他打开随身电视, 电视中恰好在播天气预报. 只听预报员说, 今天风向: 西, 风力大小各地相同.

小明非常疑惑, 这怎么和自己测量的不一样. 这时一个本地开计程车的大叔告诉他, 以前啊, 风力都是和感觉一致的, 那时候还是欧几里得当政, 这片大地也被叫做欧式大地. 后来有一天, 欧几里得王被来了一个新的统治者, 名叫什么庞加莱, 从那时起, "风力"就变成今天这样了.

"不仅如此啊, 由于俺开的出租车都是风帆车, 要按风力大小时间计费. 这样导致本来走相同的路程, 现在越往北, 计费越少. 俺们好多同事都不愿意往北边跑活.

此外还有, 因为越往北, "风力1米/s"实际速度越大, 在时间流速不变的前提下, 只能是, "1米"越来越长了. 因此大家发现, 如果一个人站在南, 一个人站在北, 两个人同时往东走"一公里", 结果北边人相对南人远远偏东了.

小明走到了庞王的王宫, 终于知道了他和他的秘密. 原来他和他的人, 都有这样的体制: 随着越来越往高纬度地区走, 他的身材随同身上的衣服和所有接触适用的物品, 都会变大.

小明向庞王诉说了, 由于他自己的奇怪, 导致他对于本地百姓的不便.

可是庞王反诘他, 你说我们很奇怪, 说我们随纬度变高而变大, 可是在我们看来, 你们是随纬度变高而变小, 反而是奇怪的那个呢!

小明被这一反诘愣住了, 庞王告诉他, "我知道, 我们与你们, 在距离, 直线(测地线), 南北方向上面, 都有不同的感受, 其实你不知道的是, 在我们的科学探索中, 这个世界对我们来说, 由三条直线(在我们看来)组成的三角形, 其内角和甚至不是180°. 而且下面这个你听了更不可思议, 在一条直线(在我们看来)之外, 过某一点有无数条平行线. 这是你们所不能理解的."

"你们总说, 我们指定的法则是错误的, 只有你们的感觉是正确的, 可是证据呢? 也只有你们的感觉而已, 你们的感觉你们说是对的, 别人的感觉就说是错的, 这是否是一种'平直世界观霸权'呢. 事实上, 我们的祖先生活在这里上千年, 也已经忍受之前那种违和规则上千年了. 现在我们好不容易定鼎中原, 为什么不拨乱反正呢?

"事实上, 我们的神告诉我们, 我们活在一个巨大的'喇叭'(伪球面)上, 我们所感知的距离才是'合适'的距离, 也就是越往北你们认为的等距在我们看来其实是变短的, 注意, 我说的可不是'正确', 我们跟你们这些平直霸权者不一样. 只有按我们所感知, 定义的距离和直线, 才是这个喇叭上真实的距离和最短路径. 如果有一天, 你能到达神的领域, 你会知道我说的是对的."

很多年后, 一次神奇的经历, 小明真的到达神的领域, 但是神却告诉他, 自己从来没有告诉过任何人, 世界是什么样子的.

"他们都是假托我说的话而已," 神说, "在我的设定中, 根本没有距离这种东西."

"看来神是拓扑学家." 小明暗想.

神接着说: "那些所谓距离, 只不过是某些人的自我感觉, 就像他们对他们所谓'时间'的感觉一样, 和'自我意识', '现象','名'一样, 都只是某些人的感觉, 这是好听的说法, 其实也可以说是错觉或者幻觉."

我说: "可是我真实地感觉, 我所在的地球就是圆的啊!"

神说: "还有人觉得地球是无限大的平面呢!"

我说: "你说的是那些地平论的傻瓜吧?"

神说: "我说的, 是真实存在的一族人, 在历史上, 只有很少像你一样的人曾碰到他们."

"谁?"

"庄子."

"您是说..."

"是的, 庄子曾经遇到一个人, 他们越往'南', 身材越小, 也因此, 这个人越往南, 跑得越慢. 他们永远到不了南极点."

"这就是庄子发现, 一尺之捶,日取其半,万世不竭的motivation呐!"

"是的, 很多年后, 我看到你们当中有人用北极投影的方法绘制地图, 我买了一幅, 送给这群人, 他们觉得这就是他们的真实世界."

"那么芝诺是不是也是遇到的这个人?"

"并非, 芝诺遇到的, 是另一个人, 这个人, 如果按照你们的'正常'视角, 比上面这个更奇怪, 往你们所谓'南'的时候, 他不仅和庄子的这位一样, 身材变小, 而且生成代谢速度却变快, 或者说, 他身上钟表的流速变快了. 当时芝诺见到他的时候, 他正在以每步自身腿长的步伐往南走, 芝诺眼见他越走, 身材越变小, 那么步幅自然变小, 可是他手上的钟表却在越走越快, 芝诺感觉他步频越来越快, 因此, 这个人对于芝诺来说, 速度竟然保持一致. 可是, 这个人的手表越走越快, 这个人肉眼可见的加速衰老了."

我这时忽然回想起小时候读到的一个报道, 说是一个旅行家遇见一个石像, 他用小刀在石像脚背上刮了一些材料下来, 很多年后, 人们再发现这石像时, 发现这个石像手向受伤的脚步伸去, 似乎向去抚摸伤口. 也许这就是那个芝诺遇到的人吧. 只不过是在北极点附近罢了.

"并非," 神说, "其实是那个人的同胞写的, 那所谓的石像, 就是你们这些地'球'人." 原来如此, 在他们眼里, 奇怪的反而是我们啊, 是我们身上的钟表变慢了.

神接着说:"所以, 你们, 庄子朋友, 芝诺朋友, 到底谁关于距离和时间的感觉是对的呢? 我的意见是, 没有谁的是对的, 也没有谁的是错的."

"这难道是爱因斯坦相对论?"我惊呼.

"正是. 现在你还确信, 地球是一个球吗?" 神微笑地看着我.

"我..."

"不过至少, 你关于地球是一个封闭球面的感觉, 我感觉, 是比其他两族人更正确的...毕竟他们无法在有生之年走到南极点嘛."

我释怀地微笑了一下.

"可是," 神突然脸色一变, "谁又知道, 我关于'临近'的观点, 是不是也仅仅是我的一种幻觉呢."

我骇然, 再看向之前旅居的, 庞王和曾经欧几里得王的子民, 他们到底谁错了呢? 都没有错, 只是他们的感觉不同而已. 庞王告诉我的"神谕", 伪球面说, 其实也只是他自己的感觉, 对他的自我暗示, 只是他用以理解自己所感的一个模型而已. 就像"平直空间"之于欧王子民, 都只是一种模型, 用以理解他们自己的感受. 这两个模型没有正确错误, 只要能够解释自己对于距离的感受, 就是好模型.

两种立法途径

有一个声音问道:"那么由代表什么呢?"

我:"首先明确, 其中作为坐标或者门牌号, 在欧王和庞王时期是一致的..."

这声音:"你是说, 在庞王时期, 一个住在的居民, 和一个住在的居民, 他们的距离被庞王规定为了, 而不是欧王时期的?"

我:"是的. 你可以理解为这个距离对于欧王遗民来说, 只是一种计费方式就好."

"那么住在高纬度的人, 如果乘坐按距离计费的计程车, 那么岂不是比欧王时期省了大钱了?"

"是的. 我们回到. 刚才说了尽管沿用了欧王在大地上规划出的网格, 即-坐标系, 同时庞王规定了新的距离. 因此, , 可以粗略地认为, 是每个格点处居民房屋, 指向其东边格点邻居的一个箭头, 这是在欧王时期就画下的. 现在在庞王新距离的规定下, 或者说在庞王及其族人眼中, 其实这个箭头是越往北越短的.

"所谓平行移动, 就是庞王的手下, 拿着一个指向东的箭头, 向北行走(或者随便怎么走), 那么这个箭头在庞王的规定中, 就是在平行移动的. 满足. 只不过在欧王遗民中, 它是在变长的, 和庞王手下一样.

"这个平行移动的手下, 他所做的工作, 其实和庞王规定距离是一样的. 能够感知一方, 便能立即得到另一方.

"也就是说, 如果说庞王既可以通过规定'距离'为此世界立法, 也可以通过规定向量场的变化(联络), 为此世界立法. 这两种立法方式, 是等价的, 殊途同归的."

向量的平行移动

首先注意, "平行移动" 不需要向量场的概念, 它只需要一个箭头(向量), 以及一个所谓"联络"的定义即可.
由这个向量, 平行移动生成的向量场, 其准确数学定义为. 想象, 城市中有一根铁线, 一个

首先明确, 一个向量场除了几何上, 是一个流场, 风场, 它还可以作用在一个函数(势)上, 得到这个势函数在这个流场方向上的变化率. 可以想象一个势函数为世界上的一座山, 变化率就是这山在某方向上的坡度.

那么向量场相乘, , 从作用到势的效果上看, 是势在"Y方向的变化率"在X方向的变化率.
回归到几何上,

Lie导数与联络的区别

对于 ,设 在点 的邻域 上的局部流。定义 关于 点的 李导数 为向量:

定理: 如果都是光滑向量场, 那么.

注意: 这里可没有需要度量哦, 也就是说, 对于给定的向量场, 不管对于什么距离感的居民, 都是一样的.

这个李导数的定义, 其实就是为了排除由于空间本身的扭曲, 造成对向量场变化的影响.

可以这样想象: 在一个稳定蜂蜜流上, 在时刻, 把一小片区域(可以假设为球形), 染上与金色不同的蓝色, 然后观察这一小撮蓝色随波逐流, 在时刻漂到处, 其上的小箭头(也就是各个水滴间的连接箭头)自然也随着变化, 我们记这种箭头的变化, 为的pushforward, .

这种情况下, 我们就可以说, 任意小箭头的流动构成的向量场, 其李导数都是. 因为"排除空间本身的扭曲后, 小箭头们本身并没有变化, 是字面意义的'随波逐流'".

而对于有主动变化的向量场, 自然度量的也是这种排除了"随波逐流"产生的变化外, 货真价实的改变.

而联络, 就像之前 神-小明 所说, 其实是和距离等价的一个"用户自定义". 对于王者来说, 在一个没有定义距离的处女地上, 他可以任意定义联络, (当然要满足联络的内在性质.)

比如, 对于同样的向量场对, 完全一样, 欧几里得王定义, 庞加莱王定义. 这就分成不同的几何世界.

相比之下, , 这是显然的. 这是因为格点随着(或任意其他向量场)漂流, 所以连接两个接格点的箭头 , 也只是随波逐流罢了. 并没有说, 在漂流的过程中, 改变了连接对象. 比如, 时刻, 一个中的箭头发自,终于, 这俩点随流漂到, 这恰好也是向量场处的箭头. 箭头在漂流过程中, 没有改变依附的两个粒子. 就是这个箭头的流动Lie导数为0的含义. (总结: 对于箭头比较难理解时, 可以还原到它所依附的两个端点粒子的运动上.)

注意: 上面这段Lie导数的可视化, 丝毫不涉及距离. 也就是说, 对不管是欧王遗民还是庞王手下, 都是适用的.

挠度

现在我们已知, Lie导数和联络是不同的.

Lie导数看的是在流动过程中, 箭头是否死死粘在两个流动端粒子上.

联络是王的规定, 在他眼里, 意味着经过方向的位移后, 或者说他站在的起点和终点, 看到向量场(在当地)是一模一样的. 但这只是他本人的感觉, 也许在其他人眼里, 已经不一样了. 就像庞王手下和欧王遗民看待一样.

联络与Lie导数的底层区别就是, 他们不去关注箭头与端点粒子的绑定, 而是在一箭头之于观察者的身材(感觉). 后者因为是基于观察者的"感觉", 而感觉是很不靠谱的, 所以即便对于同一个流形, 同样的流场, 结果也不同.

那么, 有没有一族人, 他们的感觉, 就是比别人的更"靠谱"呢? 这当然可以萝卜招聘出来的, 比如令. 也就是说, 对于任意箭头在随任意端点粒子流场中随波逐流, 所产生的这些向量场(), 如果有一族人, 在他们眼里, . 其中 箭头随端点粒子流漂流之后, 在观察员眼中与平行移动的差距.

可以这样想, 庞王手下拿着箭头的尾巴, 粘稠蜂蜜流的裹挟下往东走, 结果走了一会, 他发现箭头的头走的比他慢. 这头比尾慢出来的一段, 就是(头位移 尾位移 ).

这慢出来的一段, 还可以这样计算, 就是让这个观察员使劲固定住这个箭头, 不让它被蜂蜜流影响, 然后倒回起点, 比较现在的箭头头部和出发时箭头头部位置的差(, 沿走一段后的 初始时刻的.) 注意, 写在符号后面的大字母, 才代表要考察比对的对象, 下脚标不是, 脚标是描述要对比的对象怎么来滴.

向庞王他们, 这两个感觉就相等, . 那么我们可以说, 他们对于距离的感觉, 至少对于随波逐流的两个粒子来说, 位移的感觉是一致的. 不管是比较两粒子各自的位移之差(先各自作差(时间上), 再合起来作差(空间上)), 还是看连接两粒子箭头的改变(先联合比较作差(空间上),再时间上作差), 即不管先空间后时间, 还是先时间后空间, 结果是一致的, 这种符合我们欧式空间人"感觉"的, 我们更倾向于有一种认同感.

这种认同感, 我们称之为"零挠度". 但凡不能满足我们这种空间作差和时间作差可交换的, 我们都说他"挠度非零".

Heisenberg世界中的算子

小明来到了Heisenberg世界, 这儿的居民原先也是跟着欧几里得王同族的, 他们此世界为欧几里得.

后来, 就和庞加莱称王一样, 这儿也被一个叫Heisenberg的人称霸, 人们呼之海王.

海王和庞王一样, 并未改变欧王在世界上划定的网格. 可是他规定, 所有的计程车只能走在生成的层面上, 他称之为"水平分布".

小明照例也去拜访了他, 最终发现, 就像庞王越往北身材越大的"奇怪"一样, 这位海王也有自己的诡异之处, 他只能沿着上面描述的那个"水平分布"走动, 而没办法向垂直与这个平面的方向走动. "正像我们地球人只能在地球表面走动一样," 小明暗想. 因此他拥有的汽车制造厂, 所生产的计程车, 自然也只能在这个"水平"层面上行驶.

为什么说一样, 都是2阶算子

从公式上看, , 在

如果说, 向量场, 其几何实在就是箭头, 功能实在是测量势函数在某方向的变化率函数. 形象化: 小明测量一座山在某点, 向东一箭头海拔增长了多少, 假设读书是1m.

那么向量场的复合, 功能实在是测量势函数变化率的变化率, 形象化就是: 小明先向北一箭头, 测得山增高, 又返回原点, 先向东一箭头, 测得山增高, 再向北一箭头, 测得又增高. 那么北向(Y)的增高速度, 随着往东(X), 是在变大的, 变大速率是.

在上篇中, 由于是两个粒子的连接箭头, 是蜂蜜流, 是建立在底层流形上的函数, 可以看作一座底部镂空的山. 所以就是箭头头比尾处的山高多少, 而表示的是, 两个蜂蜜粒子在随流动中, 他们上面山的海拔之差.

如果我们解开"Y箭头牢牢地黏在两滴蜂蜜粒子的两端"这一对的束缚, 而是在在这蜂蜜流上方, 再铺一层水流, 于是箭头随水流流向而变, 则代表水中箭头首位两处对应山的海拔差.

则表示, 观察员双腿仍陷在在蜂蜜流中随波逐流, 而他手上拿着的箭头却在水流中, =箭头在这两个流场的作用下, 首尾对应上面山的海拔高度差的变化.

而相对的, 则正好反过来, 观察员站在水流中, 箭头却在蜂蜜流中, =依然是两种流场综合作用下, 箭头首尾对应山的海拔差.

没有任何道理, 强求它俩()一样. 除非其实是中两滴蜂蜜的连接箭头, 随随波逐流产生的流场(公式语言是, 自然语言是, 生成(当然, 也可由决定, 可谓共轭父子. 也正因为这一层共轭父子的关系, 可交换性即 是可以预期的)). 这就和之前的模型一致了.

因此一般情况下, 两种流场没有上面这种"共轭父子"这一层亲密关系, 所以也就不可交换, 即. 换句话说, 也衡量了两个向量场, 到底有多亲, 数学上说, 到底离可交换差多少.

在Heisenberg流形上, 根据定义, 这一差距正是, 根据Lie导数定义, 也即是说, 相对沿的平行移动, 多了 .

而是让拿着箭头尾的观察员, 别光随波逐流了, 也支楞一下, 哪怕只改变箭头长度呢. 如此显然, 因为测量的蜂蜜粒子都不一样了. 于是

Heisenberg群世界中的规矩

对于居住在 点的居民, 上头命令向东移动 , 遵循"海王当局"的移动规则, 他应移往 , 或者, 为了不进行这么复杂的计算, 他可以沿着海王规划的"水平"层向东走, 虽然他感觉在向东的同时, 被迫也在往下走, 而且住的越靠北的居民, 往下走的越多.

而若上头命令向北移动 , 则应移往 , 或者沿海王"水平层"往北 , 只不过还得被迫往上走.

而若上头命令向上移动 , 则应移往 , 这次没法沿海王"水平层"搭计程车了, 只能拖家带口大包小包, 沿着上一层垂下来的麻绳, 往上面爬, 生爬 距离, 这属于偷渡, 最终他们从上一层的井盖中爬出, 由当地蛇头接应. (当然, 根据周定理, 其实也是可以在"水平层"搭计程车的, 只不过就是要绕好大的圈罢了.)

和以前一样, 是蜂蜜流, 而是水流, 是观察员腿在蜂蜜流中被推着走了, 而手中的箭头被水流冲击, 由变为. 就是.

反之亦然.

从箭头来看, ; . 若, 即

或者, 想象这样的场景, 在茫茫大海上, 表层的水流, 下层是蜂蜜流. 有一艘潜艇, 在水面行驶消耗燃油, 在蜂蜜中行驶消耗电力.

目前, 潜艇位于座标处, 现在接到密文, 要进行巡航. 但要命的是, 潜艇的推进器坏掉了, 只能上浮和下潜.

潜艇艇长现在有两个方案赶路. 第一方案是, 下潜至蜂蜜流, 顺流漂, 然后上浮至水面, 再顺流漂; 第二方案是先上升至水面, 顺流漂, 然后下潜至蜂蜜流, 顺流漂.

那么, 反映了在水面漂流的时候, 方案一比方案二多在水面漂了多远, (潜艇嘛, 还是不希望在水面暴露太大范围的.) 而, 反映了方案二比方案一在蜂蜜流中多漂了多远, (水里有水雷, 潜艇也不敢在水里漂流太快太远.)

如果潜艇的水文观察员观察到, 此地方案一比方案二在水面多漂的航程(多承担的水面危险), 正好也是方案二比方案一在蜂蜜流中多漂的航程(多承担的水下蜂蜜流中的水雷, 偶不, 蜂蜜雷危险). 即 那么艇长感觉这两个风险差, 与这两个航程差一样, 差不多. 所以选哪个方案都可以.

在Heisenberg群上, 在原点处, , . 因此, , 类似.

这是什么意思呢, , 先下潜后上浮, 比先上浮后下潜, 仅看水面的航程, 多在方向走了一段(也就是说, 往高处多漂了这么高), 这是因为, 水面流动也是在海神规划的"水平层"上的, 除了原地处, 随便换个地方, 水面(以及蜂蜜面)是会向上下倾斜的.(想象停车场的旋转进出通道).

同样, , 先上浮后下潜, 比先下潜后上浮, 仅在蜂蜜面的航程, 多在方向走了一段.

那么, , 表示方案一比方案二多在水面走的航程, 比上方案二比方案一在蜂蜜层多走的航程, 的向量差.

或者, 也可以说, 是方案一比方案二多走的蜂蜜层航程. 因此可以说, 方案一比方案二在水中多走, 在蜂蜜中多走, 那么综合来看, 方案一比方案二多走.

在Heisenberg群上, 潜艇执行方案一比执行方案二的结果, 是方案一后的潜艇比方案二后的潜艇, 高.


其实上面这个也不准确, 具体来说, 是因为.

回到最简单的上, 我们可以想象, 在水流和蜂蜜流中, 是有压强的,(或者也可以设想有其他属性, 我目前就想到的是压强.) 压强关于位置的函数是. 对于潜艇来说, 我们当然希望能在恒定液压的海域中航行, 不然的话, 会发生可怕的"掉深"事故.

但这种理想情况怎么可能呢, 所以我们的潜艇上, 配备了一名排水员, 为了维持不要发生掉深事故, 排水员随时监控所在地及前进路线上的水压变化, 以便调整储水仓中的水位, 调整整艘潜艇的浮力大小.

排水员最理想的是, 航行区域上的海压是恒定的, 那他就什么不用做了. 其次是前进路线上, 压力的变化不大, 这样他就可以慢悠悠的排水进水就好了. 哪怕是很大, 其实也可以接受, 就是把阀门开大点. 最怕的就是, 因为尽管在水层, 顺这水流航行, 但依然有可能被底下的蜂蜜流影响, 往方向偏移. 此时如果前方海压变化保持不变, 那就不用动阀门. 可要是因为这一点偏移, 导致前方海压的变化率的改变较大, 那么这是最难受的, 排水员还得调整阀门开度大小. 排水员最讨厌这种情况了, 因为他们需要时刻根据偏移, 根据前方海压变化, 调整阀门.

排水员通常称前进路线上"掉压很大", 意思是很大; 说"海压复杂", 就是说很大.

后来, 诞生了探测器, 就是显示当前地点航向, 前方海域的海压复杂程度.

同样的, 还有探测器, 这是在蜂蜜层潜行时适用的.

因此, 排水员需要计算顺水漂的复杂度, 与顺蜂蜜漂复杂度的差, 提供给艇长, 以决策应该在哪一层航行.

对于heisenberg群上, 竟然有, 意思是, 在不管当前海压函数怎样, 顺水漂流的海况复杂程度, 与顺蜂蜜漂流的海况复杂程度相比, 高出来数值, 竟然就是海压方向变化, 这样可好观测计算多了. 所以排水员都喜欢在heisenberg流形世界中上班. 脑细胞消耗度大大减少.

Dilation 缩放

海王规定:

欧式空间中的居民, 对于一个平行于坐标轴的正方体盒子, 比方说是为前底边, 为对顶点. 将其尺寸放大为两倍, 变为, 则它的体积放大倍.

而对于Heisenberg流形(此处特指Heisenberg群)上的居民, 面对一个底面"水平"的盒子. 最后一个点为对顶点.

将其底边尺寸放大为两倍, , 则, 其边 ,

, 那么它的体积扩大倍.

也可以选择将高放大为, 那么它的体积同样扩大倍.

因此居民们得知,

回忆我们在我们自己的生活中, 用哆啦A梦的放大灯照射某个物体, 比方说一个蚂蚁王国吧, 那么首先用哆啦A梦的放大灯肯定没有改变这个蚂蚁王国的结构(群关系), 其次, 一只蚂蚁的长宽高都是变大了相同的倍数(也即是放大镜的放大倍数.)

用数学表述, 就是, 把坐标原点设立在该蚂蚁世界中, 那么比方说, 一个住在处的蚂蚁小弟, 被迫搬家到处, 而平时, 它沿向东开车的邻居大哥, 本来住在, 需要搬到. 因此放大之后, 蚂蚁小弟要开才能到达邻居大哥的家.

而当我们用哆啦A梦的放大灯, 照射一个Heisenberg上的蚂蚁王国时. 此时居住在处的蚂蚁小弟, 被迫搬家到处, 而平时, 它沿"水平层"向东开车的邻居大哥, 本来住在, 现在需要搬到. 注意此时我们还不知道, 是多少. 但是我们知道, 因为放大灯不会改变蚂蚁王国的结构, 蚂蚁小弟仍然需要向东开, 才能到达蚂蚁大哥新家. 也就是.

尝试一: , 则, 显然,

尝试二: , 则, 这次, !

结论: Heisenberg群上, 由于放大灯的机制中, 有"保持原有结构"或者"其中的居民, 除了感觉走路路程变远了以外, 感觉不到其他"的要求, (反例如上, 向放大而向不变, 那么大伙感觉, 本来往东北方向走能到的, 现在需要往北偏东才行.)

为了保证这种"居民不会有除了路程以外的其他不同感受", 用放大灯照射Heisenberg群, 其变化为, 也就是竖直方向是以平方倍数拉长的.

以前邻居大哥在蚂蚁小弟下坡低, 现在低. 也就是说, 蚂蚁小弟往邻居大哥开车时, 虽然罗盘上显示的仍然是向东, 但是下坡的坡度却变大了. 放大灯倍率越大, 下坡变得越陡.

同时这使得很多人, 在往上层顺绳子爬的路程, 大大变远了.


回到问题, 为什么说一样, 都是2阶算子.

  1. 首先有缩放可以看出, 对于只能沿海王"水平层"运动的居民来说. 他们的房子, 随着放大灯放大, 长宽被放大了倍, 但高却变高了倍. (挑高变高了, 可以改复式了哈哈.) 所以他们能感觉出来, 高至少是和长宽不一样的.
  2. 符号对应关系: 其中为"导数算子(位置表象中的动量算符)"频率变量(动量表象中的动量算符)"

回顾关于海森堡流形上为什么而是二阶算子的研究历程

  1. 一开始, 从其定义入手, 想搞明白什么是, 所以我将想象成蜂蜜流, 想象成水流, 然后将他们想象成潜艇上的测量仪器.
    • 也许, 这个想法最终是可以进行下去的, 也许不能, 但我的脑力目前是没有办法.
    • 无心插柳, 可以说成功将两个向量场相乘, 给可视化了. 尽管目前还不知道, 这样子可视化有什么用.
    • 除此之外, 为了研究之间的区别, 还进行了别的研究.
    • 最终, 表示"是两蜂蜜粒子之间的连接箭头, 而蜂蜜粒子统统随漂流, 因此, 箭头除了随漂流外什么都没做";
    • 相对来说, 不够"天然", 而是"人工的", 因为它需要联络, 也就意味着需要人工赋予度量.
    • 因为度量or联络是人工赋予的, 所以并不一定有, 但如果有, 则对我们人类来说会比较亲切. 事实上, <可视化微分几何>中似乎自动默认这一点.
  2. 后来, 重新尝试从相对于的特殊性质入手, 即缩放时的各向异性. 该各向异性缩放, keep the way a man (小明 in our case) walks to his neighbour along the horizontal distribution.
  3. 由各向异性, 联想到直接考虑和具有相同缩放性的, 它的导数, 和的二阶导之间, 为什么是同阶的.
  4. 这是正路.

Torsion的产生, 来自流形的本身的内在冲突

即Poncare上半平面, 我们直到, 对于我们有如此距离感的人,(以及庞王的神), 这在三维空间中其实是一个伪球面(喇叭面).

现在我们取下一小块伪球面, 然后用超级液压机把它压平, 使得其上的联络变为, 其他都是0.

那么对于, 有, 但, 显然并非torsion free.

问题就处在, 在压平这小块的时候, 原本, 都被强制变成. 也就是, 原本由于弯曲造成的交叉分量消失了. 这用普通液压机是做不到的.

也就是说, 观察员往东走, 走了一骨碌后, 沿纬线平移回来, 惊悚地发现, 自己脸向北偏了.
这一惊悚事件, 发生的原因是, 出发地到目的地的测地线, 并非纬线. 而是往北弯的一段圆弧, 在目的地, 东向在测地线的左侧(以从出发点发车的, 沿测地线行驶小车的车头为视角), 因此, 当调查员在目的地坐上测地线上的小车(小车上座椅可旋转), 倒车回退到出发地时, 他的脸仍然在测地线车头的左侧, 但在出发地, 车头已然时在东偏北方向了, 所以调查员被小车运回来后, 脸当然是朝北了.

在这快被压平了的小块上, 它还保持了原有的网格, 距离, 方位等等. 也就是说, 测地线不发生变化, 仍然是一个圆弧, 可这是不可能的, 因为既然是平面了, 测地线当然是直线了, 只能说, 靠南的地方, 平面被压出了"褶皱", 北边也被压出褶皱, 但没有南方深, 所以看起来直线比往北弯的圆弧短, 但是直线上褶皱深, 所以走起来并不短.

但调查员再往东走, 被平移回来却不再往北转了, 甚至测地线作为距离最短的路径, 已经不满足了.

是的, 最显然的矛盾就是, 距离最短的路径, 并非是一个向量不断地在自己地方向, 不偏转地重复实现的. 或者说, 零挠度地世界, 固定小车的方向盘不转动, 小车便会沿最短路径前进. 非零挠的世界, 如果还固定小车方向盘不转动, 那小车的路径不再是最短路径; 或者说, 如果还想沿最短路径形式, 小车必须打轮才行.

这是因为, 在测量距离的时候, 是需要褶皱藏起来的也算进去的. 而小车的导航系统, 却不会探测到褶皱的变化, 因此他认为的"前", 有可能是偏转了的.

这种"褶皱", 便是非零挠世界的"特产."

与结构力学上"挠度"的意义--在外力压迫下钢梁发生的形变--一样, 流形的挠度可以看作零挠曲面在超级液压机挤压下, 曲面形成的形变(褶皱).

正像小车导航不会探测褶皱一样, 我们说一根梁的方向, 也不会考虑它发生的形变. 正像实际上小车走过的距离要考虑褶皱藏起来的距离, 我们说一根梁的长度也要考虑它的形变, 不然就要发生尺寸对不上, 要发生事故了.

[图]

作用量

接知乎文章: * 下面是玄学感受: U是持有银行存款, K是股票资产, Udt就是存款在dt时间内产生的利息(利率1/dt,非复利), Kdt就是股票的分红(分红率1/dt), 其时间积分(作用量)就是固定时间段内, 存款利润-股票总分红. * 股票价格计算公式: 元存款, 可以买手股票, 也就是买的越快, 拿到的越多; 股票市值$$ * 变分就是微微改变一下投资策略, 比如先少点债转股过几天再多点, 只要保证股票2倍的开根号数(交给券商的手续费, 在自由落体例子中是这样规定的)的总数一致, (自由落体例子中正好等于总债券数)(边界条件). * 注意, 债转股的数目并不总是1:1的, 在自由落体例子中, 规矩是手续费恰好等于债券数的变化 * 有一种投资策略, 它的鲁棒性很强, 也就是利润与分红的差总是相同, 在微小的变分下. * 而其他投资策略, 利润与分红之差总是变化很大.

[图]

最小作用量原理与虚功原理

虚功原理, 静力学:

引入惯性力 , 在非惯性系下, 虚功原理扩展为

,

还是看Deepseek 的计算吧:

由达朗贝尔原理推导最小作用量原理(哈密顿原理)

1. 达朗贝尔原理的数学表述

达朗贝尔原理将动力学问题转化为"瞬时平衡"问题,引入惯性力后,虚功之和为零:

其中: - 是主动力(保守力可表示为), - 是惯性力, - 是满足约束的虚位移。


2. 对时间积分与分部积分

将达朗贝尔原理的瞬时条件扩展至时间区间,并对时间积分:

处理惯性力项: 利用分部积分和变分与导数的交换性():

由于端点固定(),边界项消失,剩余项为:

其中为系统动能。


3. 势能变分与作用量的构造

主动力的虚功对应势能变分:

将惯性力与主动力的贡献代入积分方程:

由此得到最小作用量原理

定义作用量,其中为拉格朗日函数。


4. 关键假设与物理意义

  • 理想约束:约束力虚功为零,仅保留主动力与惯性力。
  • 保守力:主动力由势能梯度描述,确保
  • 变分法框架:路径变分满足端点固定条件。

5. 结论

通过达朗贝尔原理与虚功原理的结合,结合分部积分和变分法,自然导出了最小作用量原理,并明确作用量为动能减势能的形式。这一推导表明: - 动力学问题的真实路径使作用量取极值。 - 达朗贝尔原理是连接静力学虚功原理与动力学变分原理的桥梁。

此结果在拉格朗日力学中具有核心地位,为分析复杂系统的运动提供了统一的变分框架。

总之, 为什么作用量是动能与势能之差, 其来源, 若从达朗贝尔原理开始分析, 是来自惯性力的符号是负的.

也就是说, 也可以归入之中, 以虚功(虚势能)的身份.

也就是说, 动能其实也可看作一种势能, 只不过是一种"负势能", 或者说"惯性力场势能".

在非惯性系视角中, 加速度和力场是一回事.

这何尝不是一种相对论.

引言: 亚椭圆 Fredholm 指标理论

我的感悟:算子 的解析指标

  • :
  • ,代表定义域中被 搞没了的空间,是 力量过强的 part;
  • ,代表陪域中 始终无法涉足的空间,是 力有不逮的part。
  • 因此,
  • ,可以视为衡量了 净力量
上面这个解析指标,如果它存在的话(即有限),这样的算子就被专门叫做Fredholm算子。也就是说,Fredholm算子=拥有有限解析指标的算子

Atiyah-Singer做了一件了不起的事。他们给椭圆Fredholm算子的解析指标,提供了一个纯拓扑的计算方法。
> 这一计算方法中间,所用的是由椭圆算子 的主符号 所确定的上同调类

但是,他们仅仅是对于椭圆算子做的。对于抛物型和双曲算子(都是亚椭圆算子),他们则没有涉及。
坏消息是,亚椭圆算子并不一定是Fredholm算子,也就是不一定拥有有限解析指标。
好消息是,尽管如此,证明一个算子是亚椭圆的时候一般可以顺带证明Fredholm。因此对于一些重要的亚椭圆算子,若能顺带证明其为Fredholm,则自然令人期待,他们也可以像椭圆算子那样,由纯拓扑的方法计算出来。
首先将这期待变为现实的是 Hormander,他在Atiyah-Singer发现椭圆算子指标定理后十年,将这一定理推广到一类亚椭圆算子上。
本文任务是,介绍一种基于非交换拓扑的,计算亚椭圆算子指标的新方法(相较于Epstein and Melrose's)。它将还原椭圆算子Atiyah-Singer指标定理的本来面目,于亚椭圆算子上。
  • 当然,也不能全部好事都占到,这个亚椭圆算子指标理论,其经典代数拓扑形式,只能由其非对称拓扑形式,一个例子一个例子地得到,不同例子长得也不一样。
  • 先从关于 三维流形上二阶亚椭圆偏微分方程的新指标公式 的陈述开始。
    尽管非交换拓扑听上去非常吓人,但是基于它的指标定理却可以非常接地气——比如在本文中,仅仅用到“环绕数”的概念,比经典的椭圆算子指标定理还要简单。

    接下来,我们就要解决两个问题,第一,为什么原版的Atiyah-Singer指标定理可以说是“万指(标定理)之母”;第二,由上一段中、仅用到环绕数的最简单指标定理,揭示它背后所隐藏的非交换指标定理

    坏消息是,在回答第一各问题时,对于原版Atiyah-Singer指标定理的解读,其中的上同调类是一个棘手的东西,它的计算难度象征代数的频谱复杂度直接相关。

    世界上最简单的指标定理

    像前面说的,由3-流形上的一类二阶PDE开始讨论。

    在局部坐标系中,讨论二阶微分算子: 其中系数都是流形上的光滑函数。

    • 如果 是一个具有负特征值的实对称矩阵 —— 这样一来 在本质上就是一个拉普拉斯算子 —— 那么算子 是椭圆型的,因而也是Fredholm 型的(所以有有限指标)。

    • 而如果 是是可以退化矩阵,只有两个负特征值和一个零特征值,为简化起见,我们可以通过重新整理坐标系,使得在新坐标系下, 可以表为 . 其中 是流形上的局部向量场。

      • 坏消息,这当然不再是椭圆算子,那么就不能在用“因为椭圆,所以Fredholm,所以有有限指标”的逻辑链。
      • 好消息,尽管如此,Hormander提供了一个充要条件,可以证明一个实系数二阶微分算子是亚椭圆的.
        • 这个条件是所谓的括号生成 条件:

    性质1. 括号生成 条件:

    如果局部向量场 以及它们的括号 在每个开集上生成 (在其中 有上述表示),并且如果 实数系数,则 是亚椭圆型的且是Fredholm算子。 有了这个条件, 我们就可以继续开心地寻找算子 的指标了.

    • 坏消息: 满足这个Hormander条件(即括号生成条件)的算子, 他们的指标都是无趣的0.
    • 好消息: 可以通过放宽Hormander条件中 "有实系数" 的妥协, 改为允许有复系数, 获得非平凡指标.
      • 于是可以简化地写为
      • 坏消息: 改为复系数后, hormander条件不再适用, 暂时没办法证明是Fredholm了.

    好消息: 我们所要研究的算子是广泛存在于每一个可定向3-流形中的, 基于一些著名的事实.

    概念与事实

    • 概念-: 是局部向量场 张成的全局向量丛(这可以做到, 很容易验证).
    • 事实0: 对于局部sections , 其上Hormander括号生成条件 = 是 M 上的切触结构.
    • 事实1-(Martinet’s theorem): 根据切触拓扑学中的一个基础结论,每一个闭的可定向三维流形都存在一个切触结构
    • 事实2-(Lutz’s theorem): 在切丛 中,每一种定向二维平面丛的同伦类型里都存在切触结构

    M的可定向性是必要的, 因为 就已然确定了一个M的定向.

    性质2. 的定义是好的

    在算子 的局部表示中,-系数 是一个定义良好的全局函数 有了这个结果, 我们就能放心大胆地对 搞事情了.

    性质3. 终于, 使亚椭圆算子和椭圆算子一样, 成为Fredholm

    • 如果 系数 的取值范围不包含任何奇数,则算子 是Fredholm算子。 终于又可以开心地寻找指标了.
    • 该结果表明, P的指标只依赖于 切触结构 的系数函数 (更准确地说, 是其伦型).

    定理1(本文主要定理). 用切触结构 函数 表示 的指标这个问题, 可以用下面这个定理简单地表达.

    是流形 中的一个定向链环 (oriented link),使得 1-cycle 表示欧拉类 的庞加莱对偶。对于每个奇数 ,有限集合的环路 有一个环绕数

    算子 的Fredholm指标是这些环绕数的 -线性组合,

    解读该定理

    1. 若算子 的所有系数都是实数,则, 是纯虚数且映射 是可收缩的。 那么, 定理1表明, 。这并不令人惊讶,并且可能可以通过从 到自伴算子的直接同伦证明。
    2. 然而,定理1还表明,如果向量场 在表示 中是全局定义的,则也有 ,无论 的同伦类型如何。这个推论的初等证明就不像上一条那样好找了。

    改变"阶数"的定义, 以适应需求

    令人疑惑: 为什么算子的 Fredholm 性质依赖于低阶项 呢? 简而答之: 因为这一项在新的"阶数"定义中, 也属于最高阶项. (具体的回答, 参见 vanErp2010March-模算子在切空间上, 扼要地说, 这样)

    坏消息: 对于二阶微分算子 , 在某点 上, 其传统意义上的最高阶项 , 在整个流形M上并不是一个良定义的微分算子.

    坏消息: 由这些微分算子构成的代数, 仅仅是filtered代数, 而不是graded代数.

    小小的好消息: 尽管在流形上表现不佳, 在切纤维 上却是良定义的, 并且通常设为常系数的, 而且与坐标选取无关.

    好消息: 只要我们转变思路, 调整我们对"阶数"的指定 (在filteration代数中, 也可以说是调整对层级的指定) , 就可以解决上面的两个坏消息. 具体来讲, 就是把 "抬阶" 至最高阶部分.

    注意,在相关分次代数 (Graded algebra) 中,光滑函数 与所有向量场 可交换,因为换位子 的阶数为 。这意味着分次代数中的元素可以在点 处局部化 (这"意味着"有道理吗?)。

    形式上,这种局部化的结果是: 这不就是小红书上的模算子嘛!

    • 坏消息: 和之前一样, 的最高阶部分不是 上的一个算子 (同 一样, 原因仍然包括, 1. 假如在某点处, 由定义出对应的坐标系, 那么其中所产生的系数, 还有系数依然也许会因为坐标转换, 而不再协调; 2. 在除了的其他地方, 一换坐标系, 还是不可避免地要引入低阶项.)
    • 好消息: 它可以自然地解释为 各点 对应的 构成的光滑族 是切纤维 上的算子。
    • 坏消息: 不同之处在于,在海森堡演算中,算子 不再是常系数算子 (因为有了了嘛)
    • 好消息: 而是对于切纤维上的幂零群结构具有左不变性的算子。(不禁联想起, 小红书中, 从model 向量场, 到model算子, 都是在Heisenberg群结构下左不变的.)

    通过施加换位关系 可以将 (或者更精确地说,)与海森堡群等同起来。

    那么 - 最高阶部分, 就是在(分次的)海森堡群上, 由左不变齐次算子构成的光滑族至此, 我们重新定义了阶数.

    现在我们可以阐述海森堡演算中关于亚椭圆算子的主要结果。

    定义 4 Rockland 算子

    在分级幂零群上的 -齐次不变算子是一个 Rockland 算子,如果对于该群的所有不可约酉表示 ,除了平凡表示外, 是可逆的。 简而言之, 就是说是一个好算子.

    定义 5

    如果在一个Heisenberg 算术中的 -最高阶模算子 全部都是Rockland算子,那么微分算子 -椭圆的。

    交换群 海森堡群
    Rockland 算子 齐次椭圆常系数算子
    椭圆性 模算子是Rockland算子 -椭圆:模算子是Rockland算子

    好的,以下是修改后的表格:

    概念名称 定义 昵称 相关特性及意义
    罗克兰算子(Rockland operators) 在分次幂零群上的一个 齐次不变算子 ,对于该群的所有不可约酉表示 (除了平凡表示 )(指代Hilbert空间, 指代为表示空间的Unitary表示集合), 是可逆的 信息保护者 这个算子在能映射群的同时, 还能保证在任何不可约酉表示下都不损失表示空间信息
    椭圆算子 定义 5 如果在海森堡微积分中,一个微分算子所有-最高阶模型算子 都是Rockland算子,则称-椭圆的。 空间秩序维护者 在空间各处有 “信息保护者” 维护信息秩序
    亚椭圆算子 是定义在某个开集(或光滑流形 上)的线性微分算子,对于任意分布,若(无穷次可微的光滑函数),则 光滑的区域也是光滑的 稳光传递官 对于光滑源信号, 它的经响应也是光滑的.

    Proposition 6: 在切触流形, 对于数值微分算子, 如果它是"空间秩序维护者"(-椭圆算子), 那么它就是"稳光传递官"(呀椭圆算子), 也是 Fredholm算子.

    👉 算子 (拥有局部表达式)

    特性 连续性(Continuity) 强制性(Coercivity,也叫elliptic)
    定义 存在常数 ,使得对于所有 ,有 存在常数 ,使得对于所有 ,有
    作用 保证双线性形式 的有界性,防止其值过大。 保证双线性形式 的正定性,确保解的唯一性和稳定性。
    应用 结合强制性条件,通过Lax-Milgram定理保证变分问题解的存在性。 结合连续性条件,通过Lax-Milgram定理保证变分问题解的存在性和唯一性。
    数学意义 反映了双线性形式的光滑性和可控制性。 反映了双线性形式的正定性和解的稳定性。
    示例 对于 ,连续性条件通常通过Poincaré不等式来验证。 对于相同的 ,强制性条件可以通过椭圆正则性来验证。

    参考:Wiki百科上的Bilinear form

    一条鞭法:谁在 前面,谁就是受控制的那个。

    • 连续性:在映射 中,输出 被输入 原像 控制;
    • 强制性:在方程 (对所有测试函数皆成立)中,输出 被输入 双线性形式 和 像 控制。
    • 例:拉普拉斯方程的弱形式 验证:
    • 首先, 的确是一个双线性形式;
    • 名字由来:
    • ,并微分两边,就可以得到经典的拉普拉斯方程
    • 其次, 还满足连续性条件;
    • 再次,。选择 ,则 。满足强制性条件。

    前言:本文与小蓝书有关 ## 基础版:当粒子只是布朗运动i.e.对应热方程 * 假设一个粒子的初始位置在(通常设为),时刻位置,遵循如下规律:,其中为在概率测度下的Wiener过程(也叫布朗运动) * 如在上,

    阅读全文 »

    热方程的渐近展开

    引论

    • 1930年代,在研究“拉普拉斯算子的特征值渐近行为”的过程中,人们逐渐注意到,可以借助由特征值构成的Dirichlet级数

    • 50年代,得到了这个级数的第一个展开:在某平面区域上,

      • M.Kac使用多项式近似,猜测其中.
      • 后续,McKean和Singer顺着Kac的思路,给出了热方程在边值条件下解(Green function)的精确估计;
        这些估计使得在一般情况下得以推出。
    • 与此同时,Atiyah和Bott提出一种计算-维紧流形上椭圆微分算子的指标的方法,以解析的方式:

      • 其中两项分别可以展开:记的阶数为
      • 因此有
        • 为什么,这大体是因为极为相似。

    本文目的

    在这篇论文中,我们将证明存在一个渐近展开式,形式如下: ,对于相当一般的阶数为 的椭圆型微分算子。这里 是一个相对紧致的开流形,有或没有边界。特别是,我们将得到系数 的显式公式,这些系数是 的局部表示的系数的函数。然而,一般来说,将这些系数几何地解释的问题仍然悬而未决。

    无边紧流形

    1.0记号

    1.1 中的拟基本解

    1. 简化问题:由于求抛物算子 的拟基本解是一个局部问题,所以可以限制在一个有界开集上;此外可以限制是一个椭圆算子,记为 ,其中是一个矩阵,当然一般我们都取
    2. 根据假定是椭圆的定义,即对于主象征矩阵 ,其特征值通通满足
      • 为了保证这一点,必须是关于的偶数齐次函数。
    3. 下面开始正式寻找算子的近似逆算子,通过计算象征的方法
      结论:象征为
    4. 这个近似逆算子的象征,还可以转换为卷积核的形式:
    5. 近似逆算子的象征中每项都拆解成齐次项相加:
      • 所依据的武备只有一条,的(形式)Taylor展开:
    6. 将所有相同次数的齐次象征都加一块,.
    7. 因此每个齐次象征可诱导一个齐次伪微分算子
    8. 当然,这个齐次象征也有它对应的卷积核版本,
      但我们只关注其 ,其中
      • 关于该迹的结果,将在最后一小节中展示。

    1.2 的一致点估计

    Theorem 1.2.5. For , 满足估计

    1.3 全局拟基本解

    与第一小节的区别

    回忆第一小节,那里所计算的,是中的一个有界开集上,类热算子的近似逆算子。 本小节,要将其推广到,整个流形上的类热算子之近似逆算子。

    我们给第一小节写个补充:

      • 如前所述,阶近似逆算子的热核,这个式子,便是该近似热核算子,作用在一个测试函数上;右侧便是该近似逆算子作为伪微分算子的作用公式。
      • 衡量了近似热核距离真正热核的差距;
        • 这是在说,所差不是很大。

    易混淆点

    • ,代表的是,初始温度分布在边界上及之外,都是0;
    • 但这并不代表,随后的温度也是如此;
    • 因此,近似热核函数也是定义在全空间上的,而非仅在上。
      • 这是在将定义在上的近似热核,限制到上。
      • 其中,
    • ,当 ,此外 是某正数。
      • 这如同上面的补充一样,是在衡量限制版近似热核,与真正热核的差别。
    • 上面铺垫完了,下面进入正题。
    • 对于流形,我们首先建立一个有限开覆盖 ,以及一个适配的单位分解 .
    • 记开区域 上,类热算子 阶近似热核,似比于上面的
    • 定义 的局部限制版 类似于上面的
      • 将局部限制版的近似热核拼凑在一起,便是全局近似热核

    1.4 基本解

    本节目的

    依据上一节计算出的拟基本解 ,计算出真正的基本解

    首先,对上一节中,近似热核与真正热核的差距一事,进行重述。

    引理 1.4.1. 对于每个 满足

    > 注意:我认为这里应当是,才能与下面匹配。

    其中 ,并且满足估计

    对于某些

    本节结果

    定理 1.4.3. 为固定值,。则存在一个基本解 ,对于算子 上。对于每个固定的 。如果写成

    则有

    对于某些 ,仅依赖于 。此外,对于

    • (1.4.4)中余项 来自(1.4.1);也就是说 后的像。
      不严格地,可以将此二者混为一谈。 可以显示地写出:

    • 接下来进行一点收尾工作(万分重要,这才是我自己的理解,可以直接看俩表和加粗文字)

    1.5 的唯一性

    总之,本小节就是利用热算子半群,证明热核的唯一性。

    1.6. 渐近展开式

    现在回顾 § 中最后提到的: > 当然,这个齐次象征也有它对应的卷积核版本,
    但我们只关注其 ,其中

    由上一节 Lemma 1.5.5, 是一个合格的局部拟基本解。于是 可以做 的合格估计。
    因此,其齐次分解的加和 自然也可以做 的合格估计。

    的这一渐进展开可看出,它跟流形上的度量有关。
    但另一方面,热核 对应的算子 ,却又与度量无关。因此我们可以对热核的迹,进行一些处理,应当与度量无关。自然的想法是,在整个流形上对迹进行积分。

    定理1.6.1 对热核的迹进行积分

    趋近于 时,我们有以下渐近展开:

    其中 ,在 上均匀成立。因此,

    其中

    这里 ,且任意 。利用 以及因此 可以显式地通过 的系数计算出来,只要这些系数在局部坐标中给出。此外,如果 为奇数,则

    备注 简化问题的例子:当算子为自伴算子时。

    为自伴且正定。则 有一组完备的特征截面 和特征值 ,按照它们的重数计数。则有

    其中 表示共轭转置。由于 ,具有范数1, 依赖于度量 的选择,因此

    另一方面,

    显然与度量的选择无关。


    !!! 总结 本文提供了无边流形上,对于一般椭圆算子 的热核,其迹拥有渐进展开式,也就是定理1.6.1(以及其特例)。 根据这个核迹的渐近展开,我们便可以计算Atiyah和Bott所提出的,算子指标公式中的各项,即

    • 中心思想:把原空间上的“卷积算子作用在函数上”,通过傅里叶变换,转换为相空间上“函数乘以函数”的演算
    • 在欧式空间中:考察对象为常系数微分算子,(在傅里叶变换侧,为乘以操作。)
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    之所以对流形上拉普拉斯算子热核的渐进展开感兴趣,其原因在于人们发现其包含了流形的许多几何信息(至少在黎曼流形上是如此)。

    在上一篇文章中,我们已经得到了一般的2步幂零李群、特别地Heisenberg群上的Kohn拉普拉斯的热核,此处我们进一步取仅具有两个horizontal向量场的Heisenberg群——. 那么其上次拉普拉斯算子 热核就是

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    导言

    • 随便抓取一个光滑流形的切丛的子丛,硬称其为horizontal向量丛(若维度与位置无关,称为这样的子切丛为regular distribution)
    • bracket generating condition,并非是horizontal向量丛一定满足的性质。
    • 以及二者的关系——Chou定理。
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    标准伪微分算子

    • II中第一章引进函数类,以作为那里象征函数之所在。
    • 这里我们扩展这一国界,得到所谓函数类,它与之前函数类的唯一不同便是,它对协变变量的求导,开始随求导的阶数增大而变小,且初始即求阶偏导时,可由上控制。
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    算子,象征,复合与不变性

    • 对于实向量空间上函数的线性微分算子,其象征 的一种定义是:满足 ,其中 对偶空间。
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    微分算子和它们的模

    • M是维光滑流形。
    • 是一个二阶微分算子,其中乃实向量场、乃复向量场,乃实函数(设正定)。
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    • 主丛 代数意义:主丛就是将普通的纤维丛上的每个纤维,赋予同一个群结构。

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    • 张乘和对偶模

      定义两个R-模的张乘 >> 证明模的张乘满足universal mapping property 代数意义:两个模的张乘代表从两个模的free product中剔除那些不双线性的元素 >> 两个模张乘的基就是基的分别张乘

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    • 继续仿射联络

      定义了在黎曼流形上,沿某曲线的向量场的关于联络协变导数, 其中在流形上的延拓。这推广了上沿曲线的向量场的导数。

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    • 向量丛上的联络Motivation: 从特殊的向量丛——切向量丛上的联络,推广到一般向量丛上 >>> 再一次通过线性和Leibniz法则定义

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    • 微分几何建立在微分流形上,但比微分流形多了测量长度的“尺”,即(黎曼)度量。
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    相同哲学思想精简表

    核心要素 里斯表示定理 庞加莱对偶
    作用对象 希尔伯特空间 中的线性泛函 与向量 流形 中的上同调类 与同调类
    配对机制 内积 (代数配对) 相交数/微分形式积分 (几何配对)
    原理 非退化内积使每个泛函唯一对应一个向量,实现 非退化几何配对使每个上同调类唯一对应互补维同调类,实现

    核心总结

    两者均通过 非退化配对,将 对偶空间元素(泛函/上同调类)与 原空间对象(向量/同调类)一一对应,核心是 “用具体结构(代数内积/几何操作)实现抽象对偶关系的构造性同构”

    精神延续的核心

    两者都遵循 “对偶空间的元素可通过原空间的某种结构(内积 / 几何配对)由原空间元素表示” 的思想:

    • 里斯表示:泛函 由向量 通过内积表示;
    • 庞加莱对偶:上同调类 由同调类 通过相交或积分表示。

    这种 “用原空间对象编码对偶空间作用” 的思路是两者的共同哲学。


    庞加莱对偶的形象化表述的尝试

    从某 CW-complex 出发, 有 , 即取一个维胞腔的边界, 具体是 .

    则其同调, cellular homology 为 .

    例子1(最简单的有边 2-卵形) Cycle: 两个点, 两条边, , . 则. 直观上看就是, 闭环了. 这样的我们称为 Cycle.

    它()同时也是一个Bountary, 因为他是中间由它俩封闭起来的胞腔 的边界. 因此这个 闭环Cycle 对我们了解拓扑空间来说, 没有用处.

    有用的例子是, 在环面上, 假设有一个CW-复形 (当然可以取最简单的, 一个点两个边一个面), 或者更简单一些, 假设有一个单纯复形(三角剖分). 那么这个环面的赤道线, 就是一个 Cycle (想象一下, 它的求边界操作得到的是); 但它却不是任何一个二位胞腔的边界. 因此这个闭环, 对我们了解环面非常有用.

    所以简单来说, 同调就是找到复形中那些"没有边界(Cycle), 且不是他人边界(Bountary)的东西". 听起来有点绕, 还有点哲学, 但确实如此.

    下面考虑上同调.

    首先定义上chain complex (上面我们选取的是特例 CW complex)的对偶 cochain complex, , 然后 的对偶是 , by .

    代入后, 有;

    , 代入,

    另一方面,

    所以最后,

    , 其中 . 可以看出, 作为两个线性映射(不是线性变换), 其对应的矩阵互为转置.

    举一维的例子: (有边 2-卵形)
    , 这是因为 .

    的直观意义: 找到, 或者说筛选出complex上对应的.
    的直观意义: 筛选包含作为边的胞腔, 并且计以重数. 重数中的绝对值自不必说, 就是胞腔的重复次数, 符号则代表胞腔的方向.

    在卵形例子上, , 直观意义是, 找到所有包含作为顶点的边 (就是啦), 并且计以重数 (分别是). 也就是反向的,与正向的.

    于是, Cocycle 的意义就是, 找到所有的包含作为边的胞腔链, 并且计以重数, 结果是0.也就是说, 从边发出的链(含方向), 将会相互抵消.

    在卵形例子上, , 直观意义是, 找到所有包含或者作为顶点的边 (还是), 并且计以重数 (分别是 ), 也就是反向的与正向的, 再加上正向的 与反向的, 结果就是原路返回, 等于0.
    可以再添加一个点, 添加1或2或3条边, 结果仍不变.

    而 coBoundary 的直观是, , 所有包含作为边界(包括重数也匹配)的链, 正是.

    *在卵形例子上, , 以及

    此外还有: 这是因为,

    在环面例子上, 采用最简单的分割法, 即一个点两个边一个面, 则, , 因此, , .

    可以看到,

    中的元素, 是一个个的"筛网", 它们挑选出, 中的特定链, 如 筛出链(说是链, 其实就是一个单独的-胞腔, 是最简单的链).

    如前所述, 中的元素, 依然代表着一个"筛网", 一个 -维筛网, 它筛出"包含给定-边界的-维链" (这个-维链是这样得到的, 第一步把给定的-链分解为k胞腔, 第二步找到每个k胞腔可以作为边界之一的(k+1)维胞腔, 第三步把这些(k+1)维胞腔连起来.).

    例如, 在球面上, 两个点, 两个半圆(其中一个是本初子午线), 两个东西半球面的胞腔复形, 那么 线西 就筛选出, "包含本初子午线的链", 也就是筛出正的东半球面和负的西半球面.

    Cocycle = {如此筛网: 它们找到的-链, 作为-链的部分边界, 这-链只能是全部抵消的.} 例如: 卵形上的0维筛网 , 他们筛选出的0链, 其作边界的1链是 , 显然是一个全部抵消的1链.
    再例如: 卵形上的1维筛网 , 他们筛选出的1链, 其作边界的2链是 , 显然是一个全部抵消的2链.
    再再例如: 环形上的1维筛网 , 他们筛选出的1链, 其作边界的2链是 , 显然也是一个全部抵消的2链.

    CoBoundary = {如此筛网: 它们找到的-链, 其边界确实包含了真正存在的-链.}
    例如: 卵形上的1维筛网 , 他筛选出的1链, 其边界是 , 包含了真正的0链. 非例: 卵形上的0维筛网 , 他筛选出的1链, 其边界看上去也是 , 但是并非包含了真正的0链, 也就是点, 因为所有的都是同一半的点.

    重新来,
    模型: 在卵形上, 有两个点, 两条边, 一个面. 每个点又可以看作两个半点粘在一起的, 其中发自 左, 结束于 左, 而发自 右, 结束于 右.
    , 在求边界时, 不管出发自(或结束于)哪个半点, 都计数, 只不过有正负之分, 也就是只要触碰一次点, 就计数次.
    对比之下, , 作为一个1维筛网, 筛选出的1链, 其边界是 , 包含了真正的0链
    反例(不能满足是某个0-筛网的上层筛网的1筛网): , 作为一个1维筛网, 筛选出的1链, 其边界是 , 不包含了真正的0链.

    • -胞腔 -链,
      • 后者是前者的 边界;
    • -维筛网 -维筛网,
      • 前者对应的 "链中的胞腔", 是后者对应 "-胞腔的(部分)边界"
        • 注意要把-胞腔 按照所接-胞腔的不同 分开, 然后再分别作为边界;
      • 例: 卵形 .

    创新点: 1. 将CW-complex上的从homology形象化地描述为 "筛网", 2. 将上同调中对应 "求边界" 的链运算 , 直观地描述为, 从筛网到筛网; 其中的核心运算是, 把每个胞腔按照连接的高一维胞腔分隔开后(核心中的核心), 找到筛网对应胞腔 所在连接的 高一维胞腔, 那么这些高一维胞腔(组成的链) 对应的筛网就是要找的.

    可见, 找边界, 而 是找 "反边", 也就是"超面", (在筛网语境下).
    类比求微分 derivation 和反微分 anti-derivation
    .

    应用:

    :
    这样的-筛网: 通过上面方式找到的, 包含作为边界的-超面(胞腔链), 自行抵消了.
    关键词, 超面抵消.

    :
    这样的-筛网: 它对应的链, 含有至少一个完整的胞腔. (通过把胞腔按所连接高一维胞腔分割的设定.)
    关键词, 边界含完整低维胞腔.

    : 超面抵消的k链/边界含完整胞腔的k链 (筛网语境, 分割设定)
    例: 卵形中, ;
    再例: 环形中, (点被分为4瓣, 分别接始终点, 始终点)


    基于上面模型的庞加莱对偶理解

    庞加莱说,

    其中 {无边k链}/{某个k+1链 的 边界k链} = {闭k链}/{可缩闭k链} = 不可缩的 闭k链


    ={n-k筛网: 对应的n-k链 所接的n-k+1超面(胞腔链) 自行抵消了}/ {n-k筛网: 对应的n-k链 含有一个完整的n-k-1胞腔}
    = {抵消面, 各取一n-k边}/{含一完整n-k-1边}
    = {每胞面取偶数条反向边}/{每边点取同出(进)所有边线}
    = {这样的折线: 每胞面点亮偶数次(一次红一次绿,抵消), 每边点各块点亮颜色不一致}
    = { 折线既不能离得太远(要在相邻胞面, 以抵消前面"反边"产生的胞面), 且不能有"头尾"(否则在折线头部, 就会有一个"反变"产的的胞面没有被抵消)}/{总是围绕一个点(会产生一个完整边点)}
    = {相邻 闭链折线}/{可缩 折线链(围绕一个点的所有折线链当然是闭链的)}
    = {不可缩闭n-k折线链}.

    配对: .

    其中 的计算方式是, 如果它们分别是 某个 n-胞腔 的边界, 那么 就是1, 反之为 0.

    例: 中, 胞腔复形是一个点, 黏上一个 1-胞腔 (构成 ), 再黏上两个 2-胞腔 (构成 ), 再黏上两个 3-胞腔 (分别黏到上).
    那么这个 1-胞腔 + 某个 2-胞腔 = 某个 3-胞腔 的部分边界.

    再例: 中, 胞腔复形是一个点两个边一个面, 那么 , 因为他们是唯一一个面的部分边.

    因此, 可通过 同论变化到 上任意位置, 在此意义上它们等价.

    因此, = {不可缩闭n-k折线链} {不可缩的 闭k链} = .

    注意: 由于时用最低维(不超过2)想象的, 因此放之高维会有纰漏, 主要是需要 1. 无挠元. 2. (此时万有系数定理会退化为: 详见下文)

    下面是DS的总结:

    在整数系数 下,同调群 与上同调群 同构的充要条件如下:


    严格条件

    1. 是自由有限生成阿贝尔群(即无挠元且秩有限):
      • 自由性保证 (自由有限生成群的对偶同构于自身)。
      • 有限生成性确保对偶操作不引入无限秩的群。
    2. 是自由阿贝尔群(无挠元):
      • 自由性使 ,消除万有系数定理中的修正项。

    数学依据(万有系数定理)

    根据万有系数定理:
    当上述两条件满足时:
    -
    -
    因此


    例子说明

    成立条件:环面

    • 同调群:
    • 所有同调群均自由且无挠元。
    • 对上同调:
    • 结论

    反例:三维透镜空间

    • 同调群:
    • 上同调:
    • 结论,因 含挠元,导致

    关键限制

    • 系数必须为 :若系数为域(如 ),即使 含挠元, 仍可能与 同构(作为向量空间),但这是系数扩张后的结果,不反映整数系数的本质结构。
    • 方向性差异:同调与上同调本质是协变与反变的,仅在严格条件下数值同构,而非自然等价。

    总结

    在整数系数下, 当且仅当
    1. 自由且有限生成(无挠元),
    2. 自由(保证 )。

    这一结论体现了拓扑空间的“无纠缠性”(无挠元且自由),使得局部与整体结构通过线性对偶完全对应。


    ```tikz

    % 将兼容版本从1.18降级到1.16

    问: 波函数是什么?

    答: 波函数是概率幅.

    概率幅

    概率幅是描述量子态的复数值函数(如波函数 ),其物理意义通过模平方()体现为概率密度。例如,粒子在位置 出现的概率为:

    概率幅的复数性允许叠加产生干涉项,如双缝实验中交叉项导致的强弱条纹。

    为什么要把好好的概率密度, 拆为复值概率幅呢? 这是因为, 复值可以有相位的参与, 可以进行相位干涉, 这天然地与粒子的 “真 概率” 契合.没听德布罗意说嘛, 所有物质都是波, 是波自然有相位了.

    纠错: 粒子存在的底层逻辑, 不是出现在某处的概率(实数), 而是粒子本身出现的可能性, 是以波的形式(复数). 这里的易错点是: 可能性概率, 概率只是实数化后的一个指标, 可能性本身是一个复数, 它除了包含粒子在该点出现的概率以外, 还包含粒子在该点出现的"涨落"(相位). 类比来说, 比如我在海中某点放置一个浮标, 概率是这个浮标每天最大浮动值, 相位是测量时刻, 该浮标处在涨落周期中的哪个阶段.

    以自由粒子为例 (不受任何外力(位势为常数,通常设为零)作用的量子系统,其运动仅由动能主导).

    自由粒子的波函数通常表示为复数平面波形式:

    其中: - 为粒子的动量, 为动能(总能量); - 为约化普朗克常数, 为归一化常数; - 相位项 体现了波动的传播特性。

    问: 量子物理中的位置算符是什么?

    答: 位置算符作用在波函数上, 为

    即简单地将波函数在位置处的值乘以坐标值.

    问题是这有什么深意呢? 这要和"本征态"概念连起来看.

    位置算符 本征方程形式及其解为:

    其中 称为本征态, 其物理意义就是 " 粒子在空间中的波函数, 不是别的, 就是 " 这件事, 这等价于说 " 粒子在空间中的位置正是 ".
    因此上个式子在说, 将名为"位置算符"的东西, 应用于最特殊的波函数 (特殊之处在于代表这位置确定的粒子), "狄拉克概率幅" 上, 能够提取出该概率幅的那个基点 $x_0$ 这个关键信息, 这个信息对应算子理论中的**特征值**; 自然地, 相应的狄拉克概率幅对应**特征向量**.

    问: 那么动量算符呢?

    答: 动量算符 :对波函数 的作用是 求导(通常带有虚数单位 和约化普朗克常数 ):

    物理意义:动量算符的傅里叶变换对应波函数的频率(动量)分布。

    动量算符对应的本征方程是:

    • :动量本征值。
    • :平面波形式的动量本征态。更准确地说, 是动量本征态的空间部分, 完整显式的波函数是 (这正是自由粒子的波函数), 只不过像热方程分离变量法一样, Laplace算子的特征函数是 , 不是完整的热函数, 完整的特征热函数应该是 .

    实际上, 自由粒子的薛定谔方程就是一个类 热方程

    分离变量 ,可得:

    • 空间方程(定态方程):,解为动量本征态
    • 时间方程:,解为

    关键点:空间部分 是动量算符的本征函数,不含显式时间项。

    动量算符和位置算符的本质

    因此, 若一个算符, 作用在动量完全确定而位置完全不定, 即自由粒子的波函数(空间部分)上, 可以提取出动量. 则拥有这样功效的算符, 被称为动量算符. 同理, 位置算符, 是能从位置完全确定而动量完全不定的波函数上, 提取出位置来的算符.

    小小应用: "当试图精确测量位置时,动量信息必然被破坏" - 首先明确: 动量完全确定, 对应自由粒子. - 当试图精确测量自由粒子位置时, 即 , 此时新的波函数 已不再是动量本征态, 翻译一下就是, 此时粒子已不再是动量完全确定的自由粒子. - 因此说, 动量信息被破坏. - 生动化: 教室内, 小明以确定速率在串位, 此时他的位置是完全不确定的, 也可以说, 他同时在教室的所有位置且概率相等, 在同学们看来, 每个位置上都有小明的分身, 且他身上的多色呼吸灯并不同步(相位不同). 当老师想知道某位同学的确切位置时, 往往采取调制灯光的手段: 设置呼吸灯自动随位置改变亮度 , 这样, 只要观察呼吸灯亮度在几档, 就能知道其所在位置了. 对于位置确定的孩子来说, 这一招屡试不爽. 可是, 当老师对小明也用这一招时, 之间所有座位上都亮起了灯, 而且越靠近教室后墙 ( 值越大) 的小明的分身, 其呼吸灯亮度越亮.

    傅里叶变换

    生动化: 在 点位置确定的小英, 在傅里叶眼中, 有着无数匀速运动的自由粒子分身, 对应的动量分别为, 相位分别为 , 即动量本征态 . 事实上, 每个人在傅里叶眼中, 都是由这无数匀速运动的自由粒子分身组成, 只不过组成的比例不同. 比如确定位置在 处小英的比例系数为 .

    • 位置表象: 普通人类老师, 正像我们一样, 看到的座次是座位(位置),
      • 每个学生身上都有一个多彩呼吸灯, 其呼吸灯的色彩和明暗变化, 由复值函数 展现, 其中, 是亮度, 是其初始的相位(颜色), (时刻的色彩相位). 具体见下面例子.
      • 这个班级的学生有: 小明 (身上的呼吸灯 ), 小兰( )...
      • 班主任老师希望每个同学都老老实实坐在自己的位置上, 像小兰一样( ),
        • 但往往事与愿违, 每个同学总是分布在所有位置上, 只不过这些分身的"概率幅"不同(呼吸灯亮度和相位不同)
        • 如小明, 他出现在第一个座位上的分身, 身上的呼吸灯是以 为初始相位的, 而出现在 上的分身, 其上呼吸灯则以 为初始相位. 尽管两分身的相位不同, 也就是一个还在黄光的时候, 另一个已经是绿光了, 但是二人的亮度是一致的, 也就是说, 二人是同等"实在"的, 或者说, 出现概率相等.
        • 班主任老师: 还有个别极不安分的小明, 每个位置他都同等对待 , 真是个"自由份子".
      • 为了快速知道每个同学的位置, 他有一个遥控器(位置算符), 按下对应同学的按钮, 这个同学身上的多彩呼吸灯就会随位置而改变亮度, 越靠近后墙越亮.
    • 动量表象: 傅立叶老师拥有一双邪王之眼, 他关心的不是位置, 而是每个同学的动量, (也许他是体育老师, 眼里只有谁跑得快,)
      • 其实, 每个学生身上的呼吸灯, 在傅立叶老师眼中, 不是随位置而变, (毕竟他一个体育老师, 也不上内堂, 所以也记不住位置), 而是随学生速度而变, 是亮度, 是初始相位(颜色).
        • 与位置表象不同的是, 由于 , 所以速度还影响呼吸灯的变换速度, 速度越快, 变换越快.
      • 这个班级的学生有: 小明(), 小兰()等
        • 傅里叶老师认为小明最稳定了, 因为他的速度是稳定的保持在 ,
        • 反而是小兰这个神经刀, 速度极端不稳(). 当小兰最慢()时, 她的灯初始相位为 , 而跑第二慢时, 初始灯相位 .
          • 不过不管跑多快或多慢, 灯都一样亮. 即跑第一慢和跑最快的概率相同.
      • 为了知道每个人的动量排座次, 他也有一个遥控器(动量算符), 按下按钮, 对应同学的灯会随动量改变亮度, 跑的越快越亮.

    班主任只能看到位置, 而不知有动量; 体育老师只知道有动量, 不在乎位置. 其实他们都是横看成岭侧成峰了. * 事实上每个同学身上的呼吸灯, 其初始色彩, 与位置和速度都有关, * 例如分别只有两个值的极简例子: * 小明:
    * 小兰:

    • 可见, 在一个全知者眼中, 小明和小兰, 即不只是, 也不只是 , 而是 轴上的投影.

    • 除开这两个极端例子(自由粒子, 对应动量本征态, 即小明; 位置本征态, 即小兰)以外, 还有其他同学.

      1. 高斯波包的位置空间波函数

      考虑一维高斯波包:

      其中:

      • 为波包宽度参数,
      • 为中心波数(对应动量 )。

      # 2. 动量空间波函数

      通过傅里叶变换得到动量空间波函数:

      # 3. 构造联合函数

      定义联合函数为位置波函数与动量波函数的联合相位修正:

      # 4. 投影到位置空间

      在动量空间积分:

      由于 是高斯函数,其傅里叶逆变换恰好是位置空间的 ,因此积分结果与定义一致。

      # 5. 投影到动量空间

      在位置空间积分:

      由于指数函数的积分引入狄拉克δ函数,积分结果化简为

      ## 总结

      通过上述构造,任何波函数均可表示为联合函数 的投影:

      • 位置投影:积分 的动量自由度,得到位置波函数
      • 动量投影:积分 的位置自由度,得到动量波函数

      这种投影操作本质上是傅里叶变换的逆过程,验证了波函数在相空间的可分解性,但需注意其数学构造依赖于广义函数理论。

    看起来, 似乎得到相空间函数的方法 , 但转念一想, 岂不也应该是呢? 那举例, 第一种方法得到的相空间联合分布是 , 第二种方法得到的是"".

    几何化一下, 是相空间中, 以平行于轴的切片视角来看, 只有一个波的系数非零, 但它的系数不得了, 是无穷大, 具体来说是大.
    是相空间中, 以平行于轴的切片视角来看, 波的系数 是, 就是对应的切片, 其上的波系数为, 对应切片上的波, 系数为.

    显然, 别的不说, 首先支撑集就仅有这一0测度支撑集, 而几乎处处非零; 其次的值都是"突破天界"的, 毕竟系数是, 而的值都是有限的, 甚至就是模为1的.

    因此可以说, 天壤地别.

    但是, 它俩却又同时可以作为同一套位置表象和动量表象的相空间联合分布. 为此只需验证 即可, 事实上,

    附近, 方圆的范围内时:, 后一个等式表示的是这个范围内, 的均值. 因此, 更好的说法, 的系数不是, 而是 , 而, 因此, 故可以说, 实际上是之和,即 的投入程度为(all in). 再说简单点就是, 系数是 . 这也符合我们对傅里叶分解的朴素认知.

    因此, . * 是显然的. * , 符合对上面系数的说明. 相容于的事实,

    类似地, * * ,也就是说, 每个固定的波的投入度为这么多. 这与相合.

    对于灵魂震荡, 体育老师由于站在轴上, 他可以以相同的值作为一个整体, 进行切分, 即得到这样, 然后对每个分波进行不同投入度的组合, 组成全班学生. * 如, 小明就是 全身投入(系数), 而一点不参与.(难怪体育老师最喜欢他, 他最简单嘛!) * 小兰就是 分别以 为投入度(系数)(几乎为!)参与组合(体育老师: 真复杂!), 也就是 * 班主任看到的就是组合后的结果: 小明, 小兰.

    相反的, 班主任站在轴上, 也可以按值得不同, 进行调配, 制作出全班同学 * 比如她最喜欢的小兰, 就是只有对应震荡切片 全身投入. * 最讨厌得小明, 就是需要将所有震荡切片 按很复杂的投入度调配而成.

    就像一个矩阵, 体育老师这边的操纵台是

    动量 ...
    概率幅调整, 即初始灯光亮度与颜色相位调整
    即把每个对应的这一排灯, 都进行如此调整:

    班主任这边的显示台是

    位置 ...
    概率幅, 即列初始混合灯光亮度与颜色相位:

    对于小明, 体育老师的输入是

    动量 ...
    概率幅调整, 即列初始混合灯光亮度与颜色相位调整
    即把每个对应的这一排灯, 都进行如此调整::

    班主任看到的是:

    位置 ...
    概率幅, 即列初始混合灯光亮度与颜色相位:

    对于小兰, 体育老师的输入是

    动量 ...
    概率幅调整, 即初始灯光亮度与颜色相位调整
    即把每个对应的这一排灯, 都进行如此调整::

    班主任看到的是:

    位置 ...
    概率幅, 即列初始混合灯光亮度与颜色相位:

    注意, 应该把每个灯都是为长排宽列的LED小灯阵.

    描述一下小兰, 体育老师把排的灯, 都向前一个颜色多调整了相位差 (作用在该排的第列灯上就是), (也就是说, 对于第列灯, 每一排这个位置它都是0相位, 即红光.) 并把亮度渐暗到几乎看不见的, 那么 在班主任看来, 对于每列灯光的混合光, 只有第列的灯是亮的, 而且是初始相位(, 红光)和单位亮度(即使每个列的光亮是无穷亮(密度亮度), 但小阵又无穷窄, 所以混合光只有单位亮度), 而其他列都是无光的.


    上面的可以不用看, 只看下面的(我敢说, 世界上这是第一次将傅里叶变换, 动量本征态, 位置本征态, 概率幅, 位置算子, 动量算子以游戏设定的方式, 进行阐释)

    可以看出, 存在一个巨大的灯阵, 每个灯泡(其实是长排宽列的LED小灯阵)的出厂设定为.
    体育老师的输入便是(对每排灯光的调整), 而班主任那边的输出便是(每列的混合灯光). * 如体育老师调整每排灯光, 班主任看到的就是每列混合光为 .

    反之, 当这个巨大的灯阵, 将每个灯泡(小灯阵)的相位进行反转, 即,
    * 此时, 班主任对每列灯泡进行调整, 即只让第0列灯泡亮, 其他的都关掉, 那么体育老师那边看到的每排混合光自然就是.

    这体现了体育老师那边的和班主任这边的如何互相耦合的.

    矩阵中第灯泡的出厂相位 每个灯泡的亮度
    (每个小LED灯阵的灯珠数)
    谁在输入(调制) 调制方案 谁在读取 读取数据
    站侧边的体育老师 对所以第排灯泡调制
    例如
    站底边的班主任 任意第列灯泡的混合光
    例如(处红光,其他位置无光)
    站底边的班主任 对所有第列灯泡调制
    例如
    站侧边的体育老师 任意第排灯泡的混合光
    例如(彩色光谱, 如彩虹一般)
    续表:(输入/读取) (新方案一)输入方的对调制方案的调整 对于读取方来说, 输入方调整后的调制方案的等效于 (新方案二)读取方对显示台读数的二次调制 两种方案是一样的(对读取方)
    体育老师/班主任 体育老师的 动量算符 : 作用在第一次调制方案上.
    例如:
    相当于在第一次调制前, 就作用在每所有灯泡上: , 即把所有第的灯泡都调亮 班主任的位置算符: 把列混合光调亮倍.
    例如
    都是将所有第列灯泡的混合光都调亮
    班主任/体育老师 班主任的位置算符 : 作用在第一次调制方案上.
    例如:
    相当于在第一次调制前, 就作用在每所有灯泡上: , 即把所有第的灯泡都调亮倍, 相位调整 体育老师的动量算符: 把所有第排的灯泡都调亮倍, 相位调整
    例如
    都是将所有第排灯泡的混合光都调亮

    这个"矩阵", 我想应该也可以解释不确定性原理, .


    时域和频域的函数空间本质上是, 同一数学空间的不同表示形式

    • 直观例子
      • 和弦在乐谱上的记号与示波器中的声音波形: 乐谱是和弦的频域表示(音符对应频率),波形是和弦的时域表示。 两者描述同一和弦,但通过不同方式表达,且可以无损转换。
      • 图像与频谱: 图像的空域(像素)和频域(傅里叶变换后的系数)是同一数据的不同表示,JPEG压缩即利用频域能量集中的特性。
      • 无论是 位置表象波函数 还是 动量表象波函数,它们都是同一量子态在不同表象下的表示。
      • 上面灯阵: 班主任看到的列混合灯光, 和体育老师进行的排灯光调制, 都表示同一个灯阵灯光(也代表同一个同学)

    时域空间和频域空间为Pontryagin对偶空间(非简单的线性映射对偶空间)

    是从时域空间的特征charcteristic. 具体参见Pontryagin对偶定义.

    • 定义:对于时域对应的加法群 ,其特征标是群同态 (其中 是复平面单位圆),满足:

    • 对偶群:频域空间 的元素是这些特征标 ,即

    • 的角色:是 的对偶群 的特征标,对应频率

    • 当然, 也符合特征标的定义, 也可以作为特征标.

    为什么傅里叶变换的结果, 其中除了是"频率"以外, 还是余切向量的分量, 也就是说, 是余切向量中的

    我对这个问题困惑了很久.

    可以从这个角度:

    傅里叶变换的核, 其中的交互方式为相乘, 正是余切向量与切向量的交互方式, 即.

    也许你会疑惑, 核里面的与交互是, 是位置向量的分量, 而余切向量交互的是切向量. 怎么能说它们是相同的呢?

    这是因为, 当尺度很小的时候, 位置向量近乎等于切向量, 尤其是在欧氏空间中, 在原点处.

    此外, 不论是频率, 还余切向量, 它们都是"测量方向强度的工具"

    如: 一个余切向量 测量的是, 输入一个(切)方向向量(如), 输出这个方向向量上, 增长的强度.
    而 傅里叶变换 , 输入一个的具体值(如), 输出中该频率波动的强度.
    , 输入一个(切)方向向量(如), 输出这个方向向量上振动的频率或曰强度(如在方向, 振动频率或曰强度1.1.)

    经典物理中的动量测量的是, 输入一个(切)方向向量(如), 输出在这个方向上, 系统运动的趋势的强度.
    量子力学中的动量, 输入一个(切)方向向量(如), 输出在这个方向上, 量子的动量, 即量子运动趋势的强度, 也正是该量子作为波的频率(乘上), 即量子作为波, 其振动快慢的强度


    只看下面这里就好了

    给定在 上的向量丛。那么傅里叶变换应该作用如下:

    它应如何理解: 你实际上是在寻找一个机器,它吃掉一个函数 并吐出一个函数 。模仿经典的傅里叶变换,我会尝试

    为什么说, 其中 要在余切空间上?

    • 因为, 这时是一个(切)向量;
      • 也可在给定的基切向量下, 记, 此时是一个切向量的坐标分量;
    • 那么由于傅里叶变换中最先进行的操作便是,
      若视是一个(切)向量, 则作为其线性映射, 是一个余切向量, 即;
      • 若视一个切向量的坐标分量, 那么余切向量的坐标分量(以切空间基向量的对偶余切基向量为基), 此时写为
      • 可见一般来说, 我们都采取第二种看法.

    总结, 为什么请教Deepseek, 半天搞不明白.

    1. Deepseek虽然提到, 和切向量相同, 但其实并不使人明白.也没特别强调
    2. 一直说什么拉格朗日力学和量子力学中的动量作为余切向量作为频率的等价桥梁, 其实根本是绕路, 把人绕晕.
    3. 怀疑Deepseek并没有真正的逻辑, 它只是把东西按照相关性放在一起. 因为有太多的循环论证, 而且这些循环论证都似是而非, 把人绕晕

    为什么会对这部分量子力学感兴趣?(我TM从哪转到这里来了?)

    分次代数

    1. 分次代数 Graded algebra 的定义
      • 分次代数可以分解为直和:
      • 满足乘法性质: 巴别塔: 第0层, 第1层是, ...... 对于某一层上的元素, 它是第k层上居住的魂兽, 一个第k层上居住的魂兽, 和第l层上居住的魂兽, 可以融合, 融合后得以升入层居住.
    2. 相关分次代数的结构
      • 考虑流形上的代数,包含:
        • :所有光滑函数。
        • :所有向量场。
        • 对于包含更高阶的微分算子或张量场。 第0层的魂兽是函数, 它们的能力是将人界(流形)中的每个人变成一个数字. 第1层的魂兽是向量场, 它们的能力是在人界上制造一场全球流场(如风场, 水场, 磁场等), 并且它们可以利用这流场, 洞察出函数魂兽能力的细微变化(在沿流之方向上的). ... 那么, 一个向量场, 和一个函数的融合, 是什么呢. 按理说, 应该还是向量场, (否则就不能称其为Graded algebra了), 可是是什么向量场呢? 应当这样理解: 对于任意函数, 向量场, 使得, 也就是说, 是这样的向量场, 沿着它, 的增速应该是这样子的. 而若真是向量场, 还需要满足, 对于, 应有其增速为的增速乘以加上的增速乘以这样的天然Leibniz制约. 我们可以验证: , 不满足Leibniz制约, 说明它不是一个向量场, 是不成立的. 卧槽! 也就是说这并不是一个Graded algebra. 难道van Erp写错了?
    1. 换位子的定义与计算
      • 换位子定义为:
      • 其中:
        • :向量场作用在函数上,结果为函数,属于
        • :函数乘以向量场,结果为向量场,属于 一个向量场魂兽和函数魂兽对易, 一般来说, 两个魂兽的对易, 诞生的孩子是这两个非交换性, 例如两个流场, 风流场和水流场的对易 , 就是可视化微分几何一书中, 那张著名的近似平行四边形之图中的, 小短边.
          但是风场魂兽和函数魂兽对易, 因为层级太低, 所以只能是 , 也就是风场魂兽利用其风场, 洞察函数魂兽, 在将人变成数字的时候, 在风向上是如何变化的. 这一对易出的孩子是一个函数魂兽. 辨析: 融合和赋值不是一回事. 前者 都是对其他魂兽的作用(算符), 可以称为 "系数算子", 它是把其他函数魂兽把人变成的数, 在乘上; 后者直接是被洞察的函数魂兽.
    1. 换位子的阶数
      • 的结果包含一个元素和一个元素。
      • 但是, 我们将公式写完整, 则有 但由于的阶数为,意味着的影响在阶数上被忽略,换位子主要由决定,属于
    2. 可交换性的意义
      • 换位子的阶数为表明向量场和函数在代数结构中几乎可交换,其交换偏差是一个零阶元素。
      • 这种可交换性允许分次代数中的元素在流形上的点处进行局部化,即在局部范围内可以近似认为是可交换的。 首先纠正一个易错点, 数学上的某某可局部化等价于说, 某某是 线性的. 事实上, 某某是 线性的, 也就是对于 , , 是算子 是 point-算子的充要条件. 这也可以说, 算子 (以乘法的形式, 视为一种算符), 是可交换的, 或者说. 而是局部算子, 它的充要条件是, , 这是因为, 局部上, 的非交换性, 仅差一个-阶元素, 也就是函数. 虽然不能说, 像point-算子那样, 算子函数乘完全交换, 但至少, 离交换差的也不多了, 多乎哉? 不多也. 只差一个0阶项而已. 一个例子是, 微分算子, 或者说是某个向量场, 因为有 Leibniz法则的缘故, 它们不和函数乘完全交换, 因此也不能算是point-算子, 因为某点附近的点, 其信息发生改变, 也会影响到该算子在该点的结果. 但是, , 那么这个 便是阻碍 成为完全交换的量, 可以看到, 它是函数 在x点的值, 乘上 在x点的值. 尽管"与函数的对易是函数", 不能作为 local的证据. 但是至少是 作为对比 不管是什么, 绝对不会是0阶元素.

    最终答案: 因为在相关分次代数中,换位子的阶数为,表明光滑函数与向量场可交换,从而允许元素在点处局部化。

    由上一处紫字可知, 普通的向量场与向量场的二阶项, 似乎无法作为Graded algebra的各级(grades), 因为会出现如

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