本文旨在解释"vanErp2010March"一文中, 下面这句话:
但 它可以自然地解释为
中各点 对应的 构成的光滑族 , 是切纤维 上的算子。
其中, "它" 指的是 的最高阶部分,
其在 点的局部化为 .
算子(的最高阶)是如何被定义到切空间上 上的?
首先, 在 点处, 如前所引, 的最高阶可局部化为 ,
其中 是流形上的局部向量场.
同时, 可以将 处的切空间 赋以匹配的坐标 .
还可以将这个切空间赋以Heisenberg群结构
然后, 在这个赋了坐标的 中,
显式地写出仨向量场:
对应的左不变向量场 ,
, 满足对易关系:
这仨
中的向量场 ,
跟流形上的那仨向量场 ,
是一样的吗?
首先肯定不是一回事, 因为所在的空间都不同, 一个是"贴着"流形,
一个是"贴着"切空间.
那么它们完全不同吗? 也不是的, 因为 点和 的原点是重合的, 而坐标系 是根据向量 设立的, 向量场 也是根据向量场 在 点处的向量 的坐标表示拓展出来的.
所以在 原 点 处
是如何作用于 上函数的?
例如, 对于函数 , by . .
为什么说
在 上是左(平移)不变的?
什么叫"左平移不变"?
得先解释什么是向量场的"左平移", 它脱胎于空间(更一般地, 流形)的左平移:
by
这个变换的雅可比矩阵显然就是 其中
是 平移后的新坐标.(比如小明家,明明住在 点处,
现在非让他们家连房子一起(哈尔的移动城堡是吧), 和所有人一样,
按照"左加 "的规则搬到新地方.
按照这个规则, 小明家应搬到 ,
)
因此对于向量场 ,
它们在新坐标系 下的表示为: , ,
几何化解释一下: 小明家原来在 , 小红家原来在 ,从小明家到小红家有个箭头, 就是
,
看上去就是一个水平的单位长度箭头, 现在集体搬家以后, 小明家来到 , 小红家来到 , 从小明家到小红家的箭头就变成了,
看上去就成了一个水平分量 ,
竖直方向分量 的向量了.
这说明至少对小明家来说, , 当然可以验证,
对于每家每户来说都是如此.
%%上面这个的得出其实很简单, 可以通过形式地改写雅可比矩阵定义:
因此对于向量场 ,
它的左平移 是 .
合并同类项后,
项抵消,最终得到:
可以看到, 对于这样的向量场 , 若小黄家在一个预设的箭头 头 , 小兰家在一个箭头尾 , 那么当上面下令, 整体搬家,
遵循规则"左加 ",
小黄家搬到 ,
小兰家搬到 ,
则他们之间的箭头变为 , 还是向量场 上预设的箭头!
这便是 是"左平移不变"向量场的含义.
还是应该把向量场视为流形上的箭头簇, (我知道, 紧贴流形上箭头是弯曲的,
而真正的向量是切于流形, 是直的, 但只要我们让所有箭头都缩小 ,
直的弯的谁还能分辨?), 然后把每个箭头的两个端点画在流形上, 箭头的左平移,
就可以根据这些端点的左平移来确定.
这个描述更准确地版本是, 稠密的蜂蜜在流形上流淌,
每点的速度构成一个向量场, 小红看了一眼后闭上眼睛,
小明把每一滴蜂蜜都依照群加法, 左平移到新的位置, 依旧让其流淌,
同时保持任意一滴蜂蜜流向的目标邻居,
以及流至目标邻居所在位置需要的时间 .
这时让小红睁开眼, 若小红看不出有什么不同,
则可以说这个蜂蜜流是"左不变的."
反例: 流形 $ , 赋普通加法群结构, 则蜂蜜流= 不是左不变的.
因为一滴蜂蜜 流到它的邻居所在位置 用时 , 被左平移 之后, 这滴蜂蜜被平移到 , 它的目标邻居被平移到 ,
为了保持这滴蜂蜜流至目标邻居位置时长仍是 , 它的速度需要保持 , 与
显然不同. 小红睁眼一看, 发现 这个位置, 流速比闭眼前慢了许多,
因此她知道, 这个蜂蜜流并非左不变的.
为什么要引入Heisenberg群
因为我们所在的流形, 它本身的局部李群构造(切空间),
就是Heisenberg群结构的(其上李代数为 ). 这种流形, 确实很少见,
但也可以找到一个熟悉的例子, 那便是Heisenberg群本身.
形象化描述就是, 在一个普通的 空间中, "全体搬家,
依据左加 的规则",
就是小学生都会的向量加法. 对于住在 的小明家, 左加 搬到 . 而在Heisenberg空间,
同样的搬家令, 小明家需要搬到 .
此外, 统治者还规定, 任何居民, 都只能走在"层面(distribution)"上,
他们非得说, 这层面是"水平"的, 至于层面长什么样, 见图 . 这只是一层的,
上下只需将其进行复制粘贴即可.
因此, 住在 处的小元,
要走到 处的外祖母家(也就是说,
住她头顶上方), 由于只能沿着"水平"层面(horizontal distribution)走,
因此她想走最短的路, 也是一个向上的螺旋线.
好在, Chow定理允许在这个世界里, 一个人可以从任意地方走到任意地方.
欧王与庞王, 伪球面上的变革
"联络是一种规定."
故事发生在伪球面上, 那时候, 大地还没有被规划(没有建立坐标系).
为了简化, 我们预设这个这个大地上的居民, 有天然的东西南北的感觉.
有一天, 小明在某地测量了当地的西风风速, 正好是把纸片抛起,
落在他面前一个身高的距离. 然后他往北站了站, 再次把纸片抛到同样高度,
结果这次落点远了. 于是他知道, 这个西风是越往被, 风力越大.
这时, 他打开随身电视, 电视中恰好在播天气预报. 只听预报员说, 今天风向:
西, 风力大小各地相同.
小明非常疑惑, 这怎么和自己测量的不一样.
这时一个本地开计程车的大叔告诉他, 以前啊, 风力都是和感觉一致的,
那时候还是欧几里得当政, 这片大地也被叫做欧式大地. 后来有一天,
欧几里得王被来了一个新的统治者, 名叫什么庞加莱, 从那时起,
"风力"就变成今天这样了.
"不仅如此啊, 由于俺开的出租车都是风帆车, 要按风力大小 时间计费. 这样导致本来走相同的路程,
现在越往北, 计费越少. 俺们好多同事都不愿意往北边跑活.
此外还有, 因为越往北, "风力1米/s"实际速度越大,
在时间流速不变的前提下, 只能是, "1米"越来越长了. 因此大家发现,
如果一个人站在南, 一个人站在北, 两个人同时往东走"一公里",
结果北边人相对南人远远偏东了.
小明走到了庞王的王宫, 终于知道了他和他的秘密. 原来他和他的人,
都有这样的体制: 随着越来越往高纬度地区走,
他的身材随同身上的衣服和所有接触适用的物品, 都会变大.
小明向庞王诉说了, 由于他自己的奇怪, 导致他对于本地百姓的不便.
可是庞王反诘他, 你说我们很奇怪, 说我们随纬度变高而变大,
可是在我们看来, 你们是随纬度变高而变小, 反而是奇怪的那个呢!
小明被这一反诘愣住了, 庞王告诉他, "我知道, 我们与你们, 在距离,
直线(测地线), 南北方向上面, 都有不同的感受, 其实你不知道的是,
在我们的科学探索中, 这个世界对我们来说,
由三条直线(在我们看来)组成的三角形, 其内角和甚至不是180°.
而且下面这个你听了更不可思议, 在一条直线(在我们看来)之外,
过某一点有无数条平行线. 这是你们所不能理解的."
"你们总说, 我们指定的法则是错误的, 只有你们的感觉是正确的,
可是证据呢? 也只有你们的感觉而已, 你们的感觉你们说是对的,
别人的感觉就说是错的, 这是否是一种'平直世界观霸权'呢. 事实上,
我们的祖先生活在这里上千年, 也已经忍受之前那种违和规则上千年了.
现在我们好不容易定鼎中原, 为什么不拨乱反正呢?
"事实上, 我们的神告诉我们, 我们活在一个巨大的'喇叭'(伪球面)上,
我们所感知的距离才是'合适'的距离,
也就是越往北你们认为的等距在我们看来其实是变短的, 注意,
我说的可不是'正确', 我们跟你们这些平直霸权者不一样. 只有按我们所感知,
定义的距离和直线, 才是这个喇叭上真实的距离和最短路径. 如果有一天,
你能到达神的领域, 你会知道我说的是对的."
很多年后, 一次神奇的经历, 小明真的到达神的领域, 但是神却告诉他,
自己从来没有告诉过任何人, 世界是什么样子的.
"他们都是假托我说的话而已," 神说, "在我的设定中,
根本没有距离这种东西."
"看来神是拓扑学家." 小明暗想.
神接着说: "那些所谓距离, 只不过是某些人的自我感觉,
就像他们对他们所谓'时间'的感觉一样, 和'自我意识', '现象','名'一样,
都只是某些人的感觉, 这是好听的说法, 其实也可以说是错觉或者幻觉."
我说: "可是我真实地感觉, 我所在的地球就是圆的啊!"
神说: "还有人觉得地球是无限大的平面呢!"
我说: "你说的是那些地平论的傻瓜吧?"
神说: "我说的, 是真实存在的一族人, 在历史上,
只有很少像你一样的人曾碰到他们."
"谁?"
"庄子."
"您是说..."
"是的, 庄子曾经遇到一个人, 他们越往'南', 身材越小, 也因此,
这个人越往南, 跑得越慢. 他们永远到不了南极点."
"这就是庄子发现, 一尺之捶,日取其半,万世不竭的motivation呐!"
"是的, 很多年后, 我看到你们当中有人用北极投影的方法绘制地图,
我买了一幅, 送给这群人, 他们觉得这就是他们的真实世界."
"那么芝诺是不是也是遇到的这个人?"
"并非, 芝诺遇到的, 是另一个人, 这个人, 如果按照你们的'正常'视角,
比上面这个更奇怪, 往你们所谓'南'的时候, 他不仅和庄子的这位一样,
身材变小, 而且生成代谢速度却变快, 或者说, 他身上钟表的流速变快了.
当时芝诺见到他的时候, 他正在以每步自身腿长的步伐往南走, 芝诺眼见他越走,
身材越变小, 那么步幅自然变小, 可是他手上的钟表却在越走越快,
芝诺感觉他步频越来越快, 因此, 这个人对于芝诺来说, 速度竟然保持一致.
可是, 这个人的手表越走越快, 这个人肉眼可见的加速衰老了."
我这时忽然回想起小时候读到的一个报道, 说是一个旅行家遇见一个石像,
他用小刀在石像脚背上刮了一些材料下来, 很多年后, 人们再发现这石像时,
发现这个石像手向受伤的脚步伸去, 似乎向去抚摸伤口.
也许这就是那个芝诺遇到的人吧. 只不过是在北极点附近罢了.
"并非," 神说, "其实是那个人的同胞写的, 那所谓的石像,
就是你们这些地'球'人." 原来如此, 在他们眼里, 奇怪的反而是我们啊,
是我们身上的钟表变慢了.
神接着说:"所以, 你们, 庄子朋友, 芝诺朋友,
到底谁关于距离和时间的感觉是对的呢? 我的意见是, 没有谁的是对的,
也没有谁的是错的."
"这难道是爱因斯坦相对论?"我惊呼.
"正是. 现在你还确信, 地球是一个球吗?" 神微笑地看着我.
"我..."
"不过至少, 你关于地球是一个封闭球面的感觉, 我感觉,
是比其他两族人更正确的...毕竟他们无法在有生之年走到南极点嘛."
我释怀地微笑了一下.
"可是," 神突然脸色一变, "谁又知道, 我关于'临近'的观点,
是不是也仅仅是我的一种幻觉呢."
我骇然, 再看向之前旅居的, 庞王和曾经欧几里得王的子民,
他们到底谁错了呢? 都没有错, 只是他们的感觉不同而已. 庞王告诉我的"神谕",
伪球面说, 其实也只是他自己的感觉, 对他的自我暗示,
只是他用以理解自己所感的一个模型而已. 就像"平直空间"之于欧王子民,
都只是一种模型, 用以理解他们自己的感受. 这两个模型没有正确错误,
只要能够解释自己对于距离的感受, 就是好模型.
两种立法途径
有一个声音问道:"那么 由代表什么呢?"
我:"首先明确, 其中 作为坐标或者门牌号,
在欧王和庞王时期是一致的..."
这声音:"你是说, 在庞王时期, 一个住在 的居民, 和一个住在 的居民,
他们的距离被庞王规定为了 ,
而不是欧王时期的 ?"
我:"是的. 你可以理解为这个距离对于欧王遗民来说,
只是一种计费方式就好."
"那么住在高纬度的人, 如果乘坐按距离计费的计程车,
那么岂不是比欧王时期省了大钱了?"
"是的. 我们回到 .
刚才说了尽管沿用了欧王在大地上规划出的网格, 即 -坐标系, 同时庞王规定了新的距离.
因此, , 可以粗略地认为, 是每个格点处居民房屋,
指向其东边格点邻居的一个箭头, 这是在欧王时期就画下的.
现在在庞王新距离的规定下, 或者说在庞王及其族人眼中,
其实这个箭头是越往北越短的.
"所谓平行移动, 就是庞王的手下, 拿着一个指向东的箭头,
向北行走(或者随便怎么走), 那么这个箭头在庞王的规定中, 就是在平行移动的.
满足 .
只不过在欧王遗民中, 它是在变长的, 和庞王手下一样.
"这个平行移动的手下, 他所做的工作, 其实和庞王规定距离是一样的.
能够感知一方, 便能立即得到另一方.
"也就是说, 如果说庞王既可以通过规定'距离'为此世界立法,
也可以通过规定向量场的变化(联络), 为此世界立法. 这两种立法方式,
是等价的, 殊途同归的."
向量的平行移动
首先注意, "平行移动" 不需要向量场的概念,
它只需要一个 箭头(向量) ,
以及一个所谓"联络"的定义即可.
由这个向量, 平行移动生成的向量场 , 其准确数学定义为 . 想象,
城市中有一根铁线, 一个
首先明确, 一个向量场除了几何上, 是一个流场, 风场,
它还可以作用在一个函数(势)上, 得到这个势函数在这个流场方向上的变化率.
可以想象一个势函数为世界上的一座山, 变化率就是这山在某方向上的坡度.
那么向量场相乘, ,
从作用到势的效果上看, 是势在"Y方向的变化率"在X方向的变化率.
回归到几何上,
Lie导数与联络的区别
对于 和
,设 是 在点 的邻域 上的局部流。定义 关于 在 点的 李导数 为向量:
定理: 如果 都是光滑向量场,
那么 .
注意: 这里可没有需要度量哦, 也就是说, 对于给定的向量场,
不管对于什么距离感的居民, 都是一样的.
这个李导数的定义, 其实就是为了排除由于空间本身的扭曲,
造成对向量场变化的影响.
可以这样想象: 在一个稳定蜂蜜流上, 在 时刻, 把一小片区域 (可以假设为球形), 染上与金色不同的蓝色,
然后观察这一小撮蓝色随波逐流, 在 时刻漂到 处,
其上的小箭头(也就是各个水滴间的连接箭头)自然也随着变化,
我们记这种箭头的变化, 为 的pushforward, .
这种情况下, 我们就可以说, 任意小箭头的流动构成的向量场,
其李导数都是 .
因为"排除空间本身的扭曲后, 小箭头们本身并没有变化,
是字面意义的'随波逐流'".
而对于有主动变化的向量场,
自然度量的也是这种排除了"随波逐流"产生的变化外, 货真价实的改变.
而联络, 就像之前 神-小明 所说, 其实是和距离等价的一个"用户自定义".
对于王者来说, 在一个没有定义距离的处女地上, 他可以任意定义联络,
(当然要满足联络的内在性质.)
比如, 对于同样的向量场对 , 完全一样,
欧几里得王定义 , 庞加莱王定义 .
这就分成不同的几何世界.
相比之下, ,
这是显然的.
这是因为格点随着 或 (或任意其他向量场)漂流,
所以连接两个接格点的箭头 ,
也只是随波逐流罢了. 并没有说, 在漂流的过程中, 改变了连接对象. 比如,
时刻, 一个 中的箭头发自 ,终于 , 这俩点随 流漂到 , 这恰好也是向量场 在 处的箭头. 箭头在漂流过程中,
没有改变依附的两个粒子. 就是这个箭头的流动Lie导数为0的含义. (总结:
对于箭头比较难理解时, 可以还原到它所依附的两个端点粒子的运动上.)
注意: 上面这段Lie导数的可视化, 丝毫不涉及距离. 也就是说,
对不管是欧王遗民还是庞王手下, 都是适用的.
挠度
现在我们已知, Lie导数和联络是不同的.
Lie导数看的是在流动过程中, 箭头是否死死粘在两个流动端粒子上.
联络是王的规定, 在他眼里, 意味着经过 方向的位移后, 或者说他站在 的起点和终点, 看到 向量场(在当地)是一模一样的.
但这只是他本人的感觉, 也许在其他人眼里, 已经不一样了.
就像庞王手下和欧王遗民看待 一样.
联络与Lie导数的底层区别就是,
他们不去关注箭头与端点粒子 的绑定,
而是在一箭头之于观察者 的身材(感觉).
后者因为是基于观察者的"感觉", 而感觉是很不靠谱的,
所以即便对于同一个流形, 同样的流场, 结果也不同.
那么, 有没有一族人, 他们的感觉, 就是比别人的更"靠谱"呢?
这当然可以萝卜招聘出来的, 比如令 . 也就是说, 对于任意箭头 在随任意端点粒子流场 中随波逐流, 所产生的这些向量场 ( ), 如果有一族人,
在他们眼里, .
其中 是 箭头随端点粒子流 漂流之后,
在观察员眼中与平行移动的差距.
可以这样想, 庞王手下拿着箭头 的尾巴, 粘稠蜂蜜流 的裹挟下往东走, 结果走了一会,
他发现箭头的头走的比他慢. 这头比尾慢出来的一段, 就是 (头位移 头 尾位移 尾 ).
这慢出来的一段, 还可以这样计算 ,
就是让这个观察员使劲固定住这个箭头, 不让它被蜂蜜流影响, 然后倒回起点,
比较现在的箭头头部和出发时箭头头部位置的差( , 沿 走一段后的
初始时刻的 .) 注意, 写在 符号后面的大字母,
才代表要考察比对的对象, 下脚标不是, 脚标是描述要对比的对象怎么来滴.
向庞王他们, 这两个感觉就相等, . 那么我们可以说,
他们对于距离的感觉, 至少对于随波逐流的两个粒子来说, 位移的感觉是一致的.
不管是比较两粒子各自的位移之差(先各自作差(时间上),
再合起来作差(空间上)),
还是看连接两粒子箭头的改变(先联合比较作差(空间上),再时间上作差),
即不管先空间后时间, 还是先时间后空间, 结果是一致的,
这种符合我们欧式空间人"感觉"的, 我们更倾向于有一种认同感.
这种认同感, 我们称之为"零挠度".
但凡不能满足我们这种空间作差和时间作差可交换的,
我们都说他"挠度非零".
Heisenberg世界中的算子
小明来到了Heisenberg世界, 这儿的居民原先也是跟着欧几里得王同族的,
他们此世界为欧几里得 .
后来, 就和庞加莱称王一样, 这儿也被一个叫Heisenberg的人称霸,
人们呼之海王.
海王和庞王一样, 并未改变欧王在世界上划定的网格. 可是他规定,
所有的计程车只能走在 生成的层面上,
他称之为"水平分布".
小明照例也去拜访了他, 最终发现, 就像庞王越往北身材越大的"奇怪"一样,
这位海王也有自己的诡异之处, 他只能沿着上面描述的那个"水平分布"走动,
而没办法向垂直与这个平面的方向走动.
"正像我们地球人只能在地球表面走动一样," 小明暗想.
因此他拥有的汽车制造厂, 所生产的计程车,
自然也只能在这个"水平"层面上行驶.
为什么说 和 一样, 都是2阶算子
从公式上看, ,
在
如果说, 向量场, 其几何实在就是箭头,
功能实在是测量势函数在某方向的变化率函数. 形象化: 小明测量一座山在某点,
向东一箭头海拔增长了多少, 假设读书是1m.
那么向量场的复合, 功能实在是测量势函数变化率的变化率, 形象化就是:
小明先向北一箭头, 测得山增高 ,
又返回原点, 先向东一箭头, 测得山增高 , 再向北一箭头, 测得又增高 . 那么北向(Y)的增高速度,
随着往东(X), 是在变大的, 变大速率是北 一 箭 头 东 一 箭 头 .
在上篇中, 由于 是两个粒子的连接箭头, 是蜂蜜流, 是建立在底层流形上的函数,
可以看作一座底部镂空的山. 所以 就是箭头头比尾处的山高多少, 而 表示的是, 两个蜂蜜粒子在随 流动中, 他们上面山的海拔之差.
如果我们解开"Y箭头牢牢地黏在两滴蜂蜜粒子的两端"这一对 的束缚, 而是在在这蜂蜜流上方,
再铺一层水流, 于是箭头随水流流向而变, 则代表水中箭头首位两处对应山的海拔差.
则表示,
观察员双腿仍陷在在 蜂蜜流中随波逐流,
而他手上拿着的箭头却在 水流中,
=箭头在这两个流场的作用下,
首尾对应上面山的海拔高度差的变化.
而相对的, 则正好反过来,
观察员站在 水流中, 箭头却在 蜂蜜流中, =依然是两种流场综合作用下,
箭头首尾对应山的海拔差.
没有任何道理, 强求它俩( 和 )一样. 除非 其实是 中两滴蜂蜜的连接箭头, 随 随波逐流产生的流场(公式语言是 , 自然语言是, 由 生成(当然, 也可由 决定, 可谓共轭父子.
也正因为这一层共轭父子的关系, 可交换性即 是可以预期的)).
这就和之前的模型一致了.
因此一般情况下, 两种流场没有上面这种"共轭父子"这一层亲密关系,
所以也就不可交换, 即 .
换句话说, 也衡量了两个向量场,
到底有多亲, 数学上说, 到底离可交换差多少.
在Heisenberg流形上, 根据定义, 这一差距正是 , 根据Lie导数定义, 也即是说, 相对 沿 的平行移动 , 多了 .
而是让拿着箭头尾的观察员, 别光随波逐流了, 也支楞一下,
哪怕只改变箭头长度呢. 如此显然 , 因为测量的蜂蜜粒子都不一样了.
于是
Heisenberg群世界中的规矩
对于居住在 点的居民,
上头命令向东移动 ,
遵循"海王当局"的移动规则, 他应移往 , 或者, 为了不进行这么复杂的计算,
他可以沿着海王规划的"水平"层向东走, 虽然他感觉在向东的同时,
被迫也在往下走, 而且住的越靠北的居民, 往下走的越多.
而若上头命令向北移动 ,
则应移往 ,
或者沿海王"水平层"往北 ,
只不过还得被迫往上走.
而若上头命令向上移动 ,
则应移往 ,
这次没法沿海王"水平层"搭计程车了, 只能拖家带口大包小包,
沿着上一层垂下来的麻绳, 往上面爬, 生爬 距离, 这属于偷渡,
最终他们从上一层的井盖中爬出, 由当地蛇头接应. (当然, 根据周定理,
其实也是可以在"水平层"搭计程车的, 只不过就是要绕好大的圈罢了.)
和以前一样, 是蜂蜜流, 而 是水流, 是观察员腿在蜂蜜流中被推着走了 , 而手中的箭头被水流冲击, 由 变为 . 就是 .
反之亦然.
从箭头来看, 经 过 ; 经 过 .
若 , 即
或者, 想象这样的场景, 在茫茫大海上, 表层的水流, 下层是蜂蜜流.
有一艘潜艇, 在水面行驶消耗燃油, 在蜂蜜中行驶消耗电力.
目前, 潜艇位于 座标处,
现在接到密文, 要进行巡航. 但要命的是, 潜艇的推进器坏掉了,
只能上浮和下潜.
潜艇艇长现在有两个方案赶路. 第一方案是, 下潜至蜂蜜流, 顺流漂 , 然后上浮至水面,
再顺流漂 ;
第二方案是先上升至水面, 顺流漂 , 然后下潜至蜂蜜流, 顺流漂 .
那么 , 反映了在水面漂流的时候, 方案一比方案二多在水面漂了多远,
(潜艇嘛, 还是不希望在水面暴露太大范围的.) 而 ,
反映了方案二比方案一在蜂蜜流中多漂了多远, (水里有水雷,
潜艇也不敢在水里漂流太快太远.)
如果潜艇的水文观察员观察到,
此地方案一比方案二在水面多漂的航程(多承担的水面危险),
正好也是方案二比方案一在蜂蜜流中多漂的航程(多承担的水下蜂蜜流中的水雷,
偶不, 蜂蜜雷危险). 即
那么艇长感觉这两个风险差, 与这两个航程差一样, 差不多.
所以选哪个方案都可以.
在Heisenberg群上, 在原点处, , . 因此, , 类似 .
这是什么意思呢, , 先下潜后上浮, 比先上浮后下潜,
仅看水面的航程, 多在 方向走了一段(也就是说, 往高处多漂了这么高), 这是因为,
水面流动也是在海神规划的"水平层"上的, 除了原地处, 随便换个地方,
水面(以及蜂蜜面)是会向上下倾斜的.(想象停车场的旋转进出通道).
同样, , 先上浮后下潜, 比先下潜后上浮,
仅在蜂蜜面的航程, 多在 方向走了一段.
那么, , 表示方案一比方案二多在水面走的航程,
比上方案二比方案一在蜂蜜层多走的航程, 的向量差.
或者, 也可以说,
是方案一比方案二多走的蜂蜜层航程. 因此可以说,
方案一比方案二在水中多走 ,
在蜂蜜中多走 , 那么综合来看,
方案一比方案二多走 .
在Heisenberg群上, 潜艇执行方案一比执行方案二的结果,
是方案一后的潜艇比方案二后的潜艇, 高 .
其实上面这个也不准确, 具体来说, 是因为 .
回到最简单的 上, 我们可以想象,
在水流和蜂蜜流中, 是有压强的,(或者也可以设想有其他属性,
我目前就想到的是压强.) 压强关于位置的函数是 . 对于潜艇来说,
我们当然希望能在恒定液压的海域中航行, 不然的话,
会发生可怕的"掉深"事故.
但这种理想情况怎么可能呢, 所以我们的潜艇上, 配备了一名排水员,
为了维持不要发生掉深事故, 排水员随时监控所在地及前进路线上的水压变化,
以便调整储水仓中的水位, 调整整艘潜艇的浮力大小.
排水员最理想的是, 航行区域上的海压是恒定的, 那他就什么不用做了.
其次是前进路线 上, 压力 的变化 不大,
这样他就可以慢悠悠的排水进水就好了. 哪怕是 很大, 其实也可以接受, 就是把阀门开大点.
最怕的就是, 因为尽管在水层, 顺这水流 航行, 但依然有可能被底下的蜂蜜流 影响, 往 方向偏移. 此时如果前方海压变化保持不变,
那就不用动阀门. 可要是因为这一点偏移, 导致前方海压的变化率的改变 较大, 那么这是最难受的,
排水员还得调整阀门开度大小. 排水员最讨厌这种情况了,
因为他们需要时刻根据偏移, 根据前方海压变化, 调整阀门.
排水员通常称前进路线上"掉压很大", 意思是 很大; 说"海压复杂", 就是说 很大.
后来, 诞生了 探测器,
就是显示当前地点航向, 前方海域的海压复杂程度.
同样的, 还有 探测器,
这是在蜂蜜层潜行时适用的.
因此, 排水员需要计算顺水漂的复杂度, 与顺蜂蜜漂复杂度的差 , 提供给艇长,
以决策应该在哪一层航行.
对于heisenberg群上, 竟然有 , 意思是, 在不管当前海压函数 怎样, 顺水漂流的海况复杂程度 , 与顺蜂蜜漂流的海况复杂程度 相比, 高出来数值, 竟然就是海压 在 方向变化, 这样可好观测计算多了.
所以排水员都喜欢在heisenberg流形世界中上班. 脑细胞消耗度大大减少.
Dilation 缩放
海王规定:
欧式空间中的居民, 对于一个平行于坐标轴的正方体盒子, 比方说是 为前底边, 为对顶点.
将其尺寸放大为两倍, 变为 ,
则它的体积放大 倍.
而对于Heisenberg流形(此处特指Heisenberg群)上的居民,
面对一个底面"水平"的盒子 . 最后一个点为对顶点.
将其底边尺寸放大为两倍, , 则 , 其边 ,
, 那么它的体积扩大 倍.
也可以选择将高放大为 倍 ,
那么它的体积同样扩大 倍.
因此居民们得知,
回忆我们在我们自己的生活中, 用哆啦A梦的放大灯照射某个物体,
比方说一个蚂蚁王国吧,
那么首先用哆啦A梦的放大灯肯定没有改变这个蚂蚁王国的结构(群关系), 其次,
一只蚂蚁的长宽高都是变大了相同的倍数(也即是放大镜的放大倍数.)
用数学表述, 就是, 把坐标原点设立在该蚂蚁世界中, 那么比方说,
一个住在 处的蚂蚁小弟,
被迫搬家到 处, 而平时, 它沿向东开车 的邻居大哥, 本来住在 , 需要搬到 . 因此放大之后, 蚂蚁小弟要开 才能到达邻居大哥的家.
而当我们用哆啦A梦的放大灯, 照射一个Heisenberg上的蚂蚁王国时.
此时居住在 处的蚂蚁小弟,
被迫搬家到 处, 而平时, 它沿"水平层" 向东开车 的邻居大哥, 本来住在 ,
现在需要搬到 . 注意此时我们还不知道,
是多少. 但是我们知道,
因为放大灯不会改变蚂蚁王国的结构, 蚂蚁小弟仍然需要向东开 ,
才能到达蚂蚁大哥新家. 也就是 .
尝试一: , 则 , 显然,
尝试二: , 则 , 这次, !
结论: Heisenberg群上, 由于放大灯的机制中,
有"保持原有结构"或者"其中的居民, 除了感觉走路路程变远了以外,
感觉不到其他"的要求, (反例如 上, 向放大而 向不变, 那么大伙感觉,
本来往东北方向走能到的, 现在需要往北偏东才行.)
为了保证这种"居民不会有除了路程以外的其他不同感受",
用放大灯照射Heisenberg群, 其变化为 , 也就是竖直方向是以平方倍数拉长的.
以前邻居大哥在蚂蚁小弟下坡低 , 现在低 . 也就是说,
蚂蚁小弟往邻居大哥开车时, 虽然罗盘上显示的仍然是向东,
但是下坡的坡度却变大了. 放大灯倍率越大, 下坡变得越陡.
同时这使得很多人, 在往上层顺绳子爬的路程, 大大变远了.
回到问题, 为什么说 和 一样, 都是2阶算子 .
首先有缩放可以看出, 对于只能沿海王"水平层"运动的居民来说.
他们的房子, 随着放大灯放大, 长宽 被放大了 倍, 但高却变高了 倍. (挑高变高了,
可以改复式了哈哈.) 所以他们能感觉出来, 高 至少是和长宽 不一样的.
符号对应关系:
其中为"导数算子(位置表象中的动量算符) "频率变量(动量表象中的动量算符)"
回顾关于海森堡流形上 为什么而是二阶算子的研究历程
一开始, 从其定义 入手,
想搞明白什么是 , 所以我将 想象成蜂蜜流, 想象成水流,
然后将他们想象成潜艇上的测量仪器.
也许, 这个想法最终是可以进行下去的, 也许不能,
但我的脑力目前是没有办法.
无心插柳, 可以说成功将两个向量场相乘, 给可视化了. 尽管目前还不知道,
这样子可视化有什么用.
除此之外, 为了研究 之间的区别, 还进行了别的研究.
最终, 表示" 是两蜂蜜粒子之间的连接箭头,
而蜂蜜粒子统统随 漂流, 因此, 箭头除了随 漂流外什么都没做";
相对 来说, 不够"天然", 而是"人工的",
因为它需要联络, 也就意味着需要人工赋予度量.
因为度量or联络是人工赋予的, 所以并不一定有 , 但如果有,
则对我们人类来说会比较亲切. 事实上,
<可视化微分几何>中似乎自动默认这一点.
后来, 重新尝试从 相对于 的特殊性质入手, 即缩放时的各向异性.
该各向异性缩放, keep the way a man (小明 in our case) walks to his
neighbour along the horizontal distribution.
由各向异性, 联想到直接考虑和 具有相同缩放性的 , 它的导数, 和 的二阶导之间, 为什么是同阶的.
这是正路.
Torsion的产生,
来自流形的本身的内在冲突
如 即Poncare上半平面,
我们直到, 对于我们有如此距离感的人,(以及庞王的神),
这在三维空间中其实是一个伪球面(喇叭面).
现在我们取下一小块伪球面, 然后用超级液压机把它压平,
使得其上的联络变为 ,
其他都是0.
那么对于 , 有 , 但 ,
显然并非torsion free.
问题就处在, 在压平这小块的时候, 原本 ,
都被强制变成 . 也就是,
原本由于弯曲造成的交叉分量消失了. 这用普通液压机是做不到的.
也就是说, 观察员往东走, 走了一骨碌后,
沿纬线平移回来, 惊悚地发现, 自己脸向北偏了.
这一惊悚事件, 发生的原因是, 出发地到目的地的测地线, 并非纬线.
而是往北弯的一段圆弧, 在目的地, 东向在测地线的左侧(以从出发点发车的,
沿测地线行驶小车的车头为视角), 因此,
当调查员在目的地坐上测地线上的小车(小车上座椅可旋转),
倒车回退到出发地时, 他的脸仍然在测地线车头的左侧, 但在出发地,
车头已然时在东偏北方向了, 所以调查员被小车运回来后, 脸当然是朝北了.
在这快被压平了的小块上, 它还保持了原有的网格, 距离, 方位等等.
也就是说, 测地线不发生变化, 仍然是一个圆弧, 可这是不可能的,
因为既然是平面了, 测地线当然是直线了, 只能说, 靠南的地方,
平面被压出了"褶皱", 北边也被压出褶皱, 但没有南方深,
所以看起来直线比往北弯的圆弧短, 但是直线上褶皱深, 所以走起来并不短.
但调查员再往东走, 被平移回来却不再往北转了,
甚至测地线作为距离最短的路径, 已经不满足 了.
是的, 最显然的矛盾就是, 距离最短的路径,
并非是一个向量不断地在自己地方向, 不偏转地重复实现的. 或者说,
零挠度地世界, 固定小车的方向盘不转动, 小车便会沿最短路径前进.
非零挠的世界, 如果还固定小车方向盘不转动, 那小车的路径不再是最短路径;
或者说, 如果还想沿最短路径形式, 小车必须打轮才行.
这是因为, 在测量距离的时候, 是需要褶皱藏起来的也算进去的.
而小车的导航系统, 却不会探测到褶皱的变化, 因此他认为的"前",
有可能是偏转了的.
这种"褶皱", 便是非零挠世界的"特产."
与结构力学上"挠度"的意义--在外力压迫下钢梁发生的形变--一样,
流形的挠度可以看作零挠曲面在超级液压机挤压下, 曲面形成的形变(褶皱).
正像小车导航不会探测褶皱一样, 我们说一根梁的方向,
也不会考虑它发生的形变. 正像实际上小车走过的距离要考虑褶皱藏起来的距离,
我们说一根梁的长度也要考虑它的形变, 不然就要发生尺寸对不上,
要发生事故了.
[图]
作用量
接知乎文章: * 下面是玄学感受: U是持有银行存款, K是股票资产,
Udt就是存款在dt时间内产生的利息(利率1/dt,非复利),
Kdt就是股票的分红(分红率1/dt), 其时间积分(作用量)就是固定时间段内,
存款利润-股票总分红. * 股票价格计算公式: 元存款, 可以买 手股票, 也就是买的越快, 拿到的越多;
股票市值$$ * 变分就是微微改变一下投资策略, 比如先少点债转股过几天再多点,
只要保证股票2倍的开根号数 (交给券商的手续费,
在自由落体例子中是这样规定的)的总数一致,
(自由落体例子中正好等于总债券数)(边界条件). * 注意,
债转股的数目并不总是1:1的, 在自由落体例子中, 规矩是手续费 恰好等于债券数的变化 * 有一种投资策略, 它的鲁棒性很强,
也就是利润与分红的差总是相同, 在微小的变分下. * 而其他投资策略,
利润与分红之差总是变化很大.
[图]
最小作用量原理与虚功原理
虚功原理, 静力学:
引入惯性力 ,
在非惯性系下, 虚功原理扩展为
视 则 ,
还是看Deepseek 的计算吧:
由达朗贝尔原理推导最小作用量原理(哈密顿原理)
1.
达朗贝尔原理的数学表述
达朗贝尔原理将动力学问题转化为"瞬时平衡"问题,引入惯性力 后,虚功之和为零:
其中: - 是主动力(保守力可表示为 ), -
是惯性力, - 是满足约束的虚位移。
2.
对时间积分与分部积分
将达朗贝尔原理的瞬时条件扩展至时间区间 ,并对时间积分:
处理惯性力项 :
利用分部积分和变分与导数的交换性( ):
由于端点固定( ),边界项消失,剩余项为:
其中 为系统动能。
3.
势能变分与作用量的构造
主动力的虚功对应势能变分:
将惯性力与主动力的贡献代入积分方程:
由此得到最小作用量原理 :
定义作用量 ,其中 为拉格朗日函数。
4. 关键假设与物理意义
理想约束 :约束力虚功为零,仅保留主动力与惯性力。
保守力 :主动力由势能梯度描述,确保 。
变分法框架 :路径变分 满足端点固定条件。
5. 结论
通过达朗贝尔原理与虚功原理的结合,结合分部积分和变分法,自然导出了最小作用量原理,并明确作用量为动能减势能的形式。这一推导表明:
- 动力学问题的真实路径使作用量 取极值。 -
达朗贝尔原理是连接静力学虚功原理与动力学变分原理的桥梁。
此结果在拉格朗日力学中具有核心地位,为分析复杂系统的运动提供了统一的变分框架。
总之, 为什么作用量是动能与势能之差, 其来源,
若从达朗贝尔原理开始分析, 是来自惯性力的符号是负的 .
也就是说, 也可以归入 之中, 以虚功(虚势能)的身份.
也就是说, 动能其实也可看作一种势能, 只不过是一种"负势能",
或者说"惯性力场势能".
在非惯性系视角中, 加速度和力场是一回事.
这何尝不是一种相对论.