• ,
  • 例如 , 取, 对于, 表示旋转 ;
    
• , 它跟表示的关系是, 是的微分 (视也是一个李群, 那么就是李群间的同态映射, 当然可以取微分).
  • 它的几何意义是, 李群在单位元处的切空间近似.
  • 也就是, 李代数中的元素, 对应到上的action, 正是李群中元素对应上action之间的微小变化.
  • 在例子中, , 即圆环在处切空间.
  • 于是, 对于, 有.
  • 自然语言描述便是, 对于距离单位元不远的李群元素, 它对应于表示空间的作用, 看起来就是李代数元素对应于表示空间的作用.

• 可见, 第一族表示, 直接把给无视掉了. 前景堪忧.
• 对于第二族表示, 实际上当不是奇数时, 这一表示就是可逆的.
  • 其中最关键的一步是处理时,
  • ;

手写稿转换为Markdown

问题：

吗?

解答：

应修正为：

错误原因：
:

①这一步，使用了
验证：令 ，

成立。

🍸式可以看出, Lie代数表示的共轭表示(通过定义), 面对Lie代数括号运算时, 也是反序的, 正如反自同构所表现的一样.

实际上, 这是自然的, 因为共轭表示的运算中, 就包含了一次反自同构, 也即包含了一次反序, 因此它呈现出反序的表现就对了!

为何共轭表示要与反自同构绑定在一起?

baby case:

为什么在定义共轭表示的时候, 天然与反自同构绑定

另一方面,
所以, , 这显然违背了 "表示保持群结构(李代数结构)" 的定义要求, 因此需要先改变原来的群结构(李代数结构), 变成一个新群(新李代数), 使得新的表示保持这个新群(新李代数)的结构.

显然, 这个新群的获得, 应该通过对老群(进而老李代数, 下面我们只关注新老李代数, 李群我们不关注)施加反自同构: , 使得新群(新李代数)上结构变为 .

如此一来, 在这个新群(新李代数)上, 我们的新表示便又可以保持结构, 做一个真正的表示了. , 这正是新群(新李代数)结构.

例子: 显然对于以矩阵为李代数元素的情况, 矩阵的转置即为一种反自同构, 这是通用情况. 例子: 对于Heisenberg代数, 由于其上的李代数结构颇为简单, 要实现反自同构, 仅需让即可. (当然了, 取矩阵的转置也可, 只要能实现李代数的反自同构, 都可.)

在李群表示论中, 为什么李代数元素表示可以是不可逆的, 但李群元素表示全都是可逆的? 难道不是李代数确定了李群吗?

先用符号写下来:

• : 李群
  
• : 表示空间
• : 上的可逆线性算子群 (即自同构群);

• : 李代数
• 是 上的全体线性算子空间（自同态）

Lie-Palais定理：在单连通行李群上，李代数同态可唯一提升为群表示，满足：

例子:

• , 这显然不是可逆的.
  
• 为表示空间;
• 是 确定的李群元素族;

可见:

• 首先, 李代数元素作用到表示空间任意向量 上, 得到, 因此的操作便是将所有中向量向轴投影, 这显然不是可逆的, 是丢失坐标信息的.
  
• 李群元素表示作用到表示空间任意向量上, , 是将所有中向量横向(轴方向)拉长t倍(t很小), 这当然是可逆的.
• 可见"李代数是李群在幺元处的切空间", 或者说, "李群在幺元附近可以近似为李代数"的看法. 其实是不正确的.
  
• 正确的说法应该是, 或者说对于幺元附近的点 , , 其中.
  • 另外的例子:
  • 对于,
• 因此, 与其说"李群在幺元附近可以近似为李代数", 不如说是 "李群上, 幺元附近的元素-幺元 李代数上的某个向量"

因此, 这种"差向量"或曰"改变向量(相对幺元)", 当然可以是只与部分信息有关的, 即它的表示可以是不可逆的.
但李群元素, 在定义中就规定了, (在群表示论中)是可逆的.

"做差的双方(李群元素 )是信息俱全的, 但差(李代数元素)可以只含有部分信息", 这并无问题.

Rockland算子

定义（Rockland条件）

齐次微分算子 满足Rockland条件，若对于群 的每一个非平凡不可约酉表示 ，对应的表示算子 在光滑向量空间 上是单射（即没有非零解）。

符号展开

• : 将微分算子 通过表示 转换为作用在 上的算子。
• 光滑向量: 属于 的向量在群作用下无限可微。
• 单射性: 若 ，则必有 。
• 光滑向量空间 , 关系好像函数空间中的光滑函数空间, 只是为了让算子可以作用, 意义不大, 在思考时可以不做区分.

表示

简言之, 李群算子是从李代数向量(向量场)发展来的, 因此它的表示继承了李代数表示相同的定义域和值域.

本文旨在解释"vanErp2010March"一文中, 下面这句话:

但它可以自然地解释为 中各点 对应的 构成的光滑族， 是切纤维 上的算子。

其中, "它" 指的是 的最高阶部分, 其在点的局部化为.

算子(的最高阶)是如何被定义到切空间上上的?

首先, 在点处, 如前所引, 的最高阶可局部化为 , 其中是流形上的局部向量场.

同时, 可以将处的切空间赋以匹配的坐标.

还可以将这个切空间赋以Heisenberg群结构

然后, 在这个赋了坐标的中, 显式地写出仨向量场:

对应的左不变向量场 , , 满足对易关系：

这仨 中的向量场, 跟流形上的那仨向量场, 是一样的吗?

首先肯定不是一回事, 因为所在的空间都不同, 一个是"贴着"流形, 一个是"贴着"切空间.
那么它们完全不同吗? 也不是的, 因为点和的原点是重合的, 而坐标系是根据向量设立的, 向量场也是根据向量场在点处的向量的坐标表示拓展出来的.

所以

是如何作用于上函数的?

例如, 对于函数, by . .